Bài toán tổng và tích các chữ số dựa trên cấu tạo số và thường xuất hiện trong Toán nâng cao lớp 4–5. Phải phân biệt rõ số với các chữ số tạo nên số đó.
1. Biểu diễn số theo hàng
Số hai chữ số có hàng chục a, hàng đơn vị b có giá trị 10 × a + b, với a từ 1 đến 9, b từ 0 đến 9. Số ba chữ số có giá trị 100 × a + 10 × b + c.
2. Biết tổng và hiệu hai chữ số
Tổng hai chữ số 11, hàng chục hơn hàng đơn vị 3. Hàng chục = (11 + 3) : 2 = 7; hàng đơn vị = 4. Số là 74.
3. Biết tích hai chữ số
Tích bằng 24 thì các cặp chữ số có thể là (3,8), (4,6), (6,4), (8,3). Cặp 2 và 12 không hợp lệ vì 12 không phải chữ số.
Nếu thêm điều kiện hàng chục bé hơn hàng đơn vị 2 thì chọn 4 và 6, được số 46.
4. Tìm chữ số từ tổng chữ số
Số 5a7 có tổng chữ số 16: 5 + a + 7 = 16 nên a = 4.
5. Chữ số 0
0 được phép ở hàng đơn vị hoặc các hàng bên trong nhưng không được là chữ số đầu của số nhiều chữ số. Nếu tích các chữ số bằng 0 thì ít nhất một chữ số bằng 0.
6. Kết hợp dấu hiệu chia hết
Tìm số hai chữ số có tổng chữ số 9 và chia hết cho 5. Hàng đơn vị là 0 hoặc 5. Nếu 0 thì hàng chục 9: số 90. Nếu 5 thì hàng chục 4: số 45. Có 45 và 90.
7. Quy trình
- Xác định miền giá trị từng chữ số.
- Viết điều kiện tổng, hiệu, tích, chia hết.
- Dùng điều kiện mạnh để liệt kê ít trường hợp.
- Kết hợp điều kiện còn lại.
- Ghép chữ số đúng thứ tự và kiểm tra.
8. Lỗi thường gặp
- Cho “chữ số” lớn hơn 9.
- Đổi thứ tự chữ số nhưng quên tạo thành số khác.
- Nhầm tổng chữ số với giá trị số.
- Cho chữ số đầu bằng 0.
9. Bài tập
- Tổng chữ số 9, hàng chục hơn hàng đơn vị 5.
- Liệt kê cặp chữ số khác 0 có tích 18.
- 5a7 có tổng chữ số 16.
- Tích chữ số 18, hàng chục bé hơn hàng đơn vị 7.
- Tổng chữ số 8 và chia hết cho 5.
Đáp án
- 72.
- (2,9), (3,6), (6,3), (9,2).
- a = 4.
- 29.
- 35 và 80.
10. Dạng biết tổng và tích cùng lúc
Tìm số hai chữ số có tổng chữ số 10 và tích chữ số 21. Các cặp tích 21 trong phạm vi chữ số là 3 và 7 hoặc 7 và 3; cả hai đều có tổng 10. Vì chưa có điều kiện thứ tự nên có 37 và 73. Đây là ví dụ cho thấy đề có thể có nhiều đáp án.
11. Dạng ba chữ số
Số 4ab có tổng chữ số 15 và a hơn b 3. Khi đó a + b = 11 và a − b = 3, suy ra a = 7, b = 4. Số là 474. Dạng ba chữ số thường tách phần đã biết trước rồi đưa về bài tổng–hiệu của hai chữ số còn lại.
12. Kiểm tra bằng miền giá trị
Tổng hai chữ số lớn nhất là 18. Vì vậy đề “số hai chữ số có tổng chữ số 20” là vô lí. Tích hai chữ số lớn nhất là 81. Những giới hạn đơn giản này giúp phát hiện dữ kiện sai trước khi giải.
13. Câu hỏi thường gặp
0 có được tính vào tổng chữ số không?
Có. Ví dụ tổng chữ số của 507 là 5 + 0 + 7 = 12.
Tích chữ số bằng 0 cho biết gì?
Ít nhất một chữ số bằng 0.
Có thể đổi thứ tự cặp chữ số không?
Có nếu đề không quy định thứ tự, nhưng 36 và 63 là hai số khác nhau nên phải liệt kê đủ.
14. Cách lập bảng trường hợp
Khi tích chữ số có nhiều cặp, có thể lập bảng hai cột “hàng chục – hàng đơn vị” rồi kiểm tra lần lượt điều kiện tổng, hiệu, chia hết. Cách này minh bạch hơn đoán. Ví dụ tích 24 có bốn cặp có thứ tự; nếu thêm tổng 10 thì chỉ còn 4 và 6 theo hai thứ tự 46, 64.