Bài toán gà và chó là ví dụ điển hình của phương pháp giả thiết tạm, thường dùng trong Toán nâng cao lớp 4–5 và ôn vào lớp 6. Ta giả sử tất cả đối tượng thuộc một loại rồi xem tổng đơn vị bị thừa hoặc thiếu bao nhiêu.
1. Ví dụ cơ bản
Có 20 con gồm gà và chó, tổng 56 chân. Giả sử tất cả là gà: có 20 × 2 = 40 chân, thiếu 16 chân. Mỗi lần đổi một gà thành một chó tăng 2 chân, nên số chó là 16 : 2 = 8; số gà 12.
Kiểm tra: 12 × 2 + 8 × 4 = 56.
2. Giả sử tất cả là chó
Nếu 20 con đều là chó thì có 80 chân, thừa 24. Mỗi lần đổi chó thành gà giảm 2 chân nên số gà 24 : 2 = 12. Hai cách cho cùng kết quả.
3. Công thức suy luận
Nếu có N đối tượng; loại A góp a đơn vị, loại B góp b đơn vị với b > a; tổng thực tế S. Giả sử tất cả là A thì:
Số loại B = (S − N × a) : (b − a).
Nên hiểu lập luận “thiếu bao nhiêu, mỗi lần đổi tăng bao nhiêu” trước khi nhớ công thức.
4. Kiểm tra điều kiện
Với N con gà/chó, tổng chân phải từ 2N đến 4N và luôn chẵn. Kết quả số con phải nguyên, không âm và tổng đúng N.
5. Mở rộng sang xe
35 xe gồm xe đạp 2 bánh và ô tô 4 bánh, tổng 104 bánh. Giả sử tất cả xe đạp: 70 bánh, thiếu 34; mỗi ô tô tăng 2 bánh nên có 17 ô tô và 18 xe đạp.
6. Mở rộng sang bài điểm số
24 câu, làm đủ; đúng 5 điểm, sai 2 điểm, tổng 93. Giả sử tất cả sai: 48 điểm, thiếu 45; mỗi câu đổi từ sai sang đúng tăng 3 điểm nên có 15 câu đúng. Nếu đề có câu bỏ trống hoặc điểm trừ khác thì mô hình hai loại này không còn đúng.
7. Lỗi thường gặp
- Lấy 16 : 4 thay vì 16 : 2 trong bài gà chó.
- Quên tìm số loại còn lại bằng tổng trừ số đã tìm.
- Dùng phương pháp khi có ba loại hoặc mức đóng góp thay đổi.
- Không kiểm tra tổng chân/tổng điểm.
8. Bài tập tự luyện
- 28 gà và chó, 76 chân. Có bao nhiêu chó?
- 40 xe máy 2 bánh và ô tô 4 bánh, 116 bánh. Có bao nhiêu ô tô?
- 30 câu, làm đủ; đúng 4 điểm, sai 1 điểm, tổng 93. Có bao nhiêu câu đúng?
- 18 gà và chó nhưng đề ghi 55 chân. Hợp lí không?
Đáp án
- 56 chân giả định, thiếu 20; 10 chó.
- 80 bánh giả định, thiếu 36; 18 ô tô.
- 30 điểm giả định, thiếu 63; mỗi câu đúng tăng 3; 21 câu đúng.
- Không, vì tổng chân phải chẵn.
9. Cách nhận ra “mỗi lần đổi”
Trong bài gà–chó, đổi một gà thành một chó làm tổng chân tăng 2. Trong bài xe đạp–ô tô, đổi một xe đạp thành ô tô cũng tăng 2 bánh. Nhưng với hai loại vé 30 000 và 50 000 đồng, đổi một vé loại rẻ thành vé loại đắt tăng 20 000 đồng. Luôn lấy mức của loại lớn − mức của loại nhỏ.
10. Kiểm tra bằng giới hạn
28 con gà/chó thì ít nhất có 28 × 2 = 56 chân và nhiều nhất 28 × 4 = 112 chân. Tổng 76 nằm trong khoảng và chẵn nên có thể hợp lí. Kiểm tra giới hạn trước giúp phát hiện đề sai rất nhanh.
11. Bài có tổng không chia hết cho chênh lệch
Nếu sau khi giả sử tất cả là loại A, phần thiếu không chia hết cho b − a thì không thể có số nguyên đối tượng loại B theo mô hình hai loại. Ví dụ 10 gà/chó mà tổng 31 chân là vô lí vì tổng chân lẻ.
12. Câu hỏi thường gặp
Có nhất thiết giả sử loại ít chân hơn không?
Không. Có thể giả sử tất cả là loại nhiều chân hơn rồi tính phần thừa; chọn cách nào dễ nhẩm hơn.
Có dùng cho bài có ba loại không?
Không trực tiếp. Với ba loại, một tổng số lượng và một tổng đơn vị thường chưa đủ để xác định duy nhất cả ba loại; cần thêm dữ kiện.