Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ điểm đến mặt phẳng. Trong hình học tổng hợp, phần khó nhất là dựng đúng chân đường vuông góc; sau đó thường quy về tam giác vuông hoặc thể tích.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Quan hệ vuông góc trong không gian để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Muốn chứng minh \(AH\perp(P)\), cần chứng minh AH vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong \((P)\).
- Khoảng cách từ A đến \((P)\) bằng \(AH\) với \(H\in(P)\), \(AH\perp(P)\).
- Có thể dùng công thức thể tích \(V=\frac13 S_{đáy}h\) để suy ra khoảng cách khi biết thể tích và diện tích đáy.
- Trong hình chóp có cạnh bên vuông góc đáy, nhiều khoảng cách quy về đường cao trong một tam giác vuông.
Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.
Phương pháp giải theo từng bước
- Xác định mặt phẳng cần đo khoảng cách và tìm hai đường cắt nhau thuận lợi trong mặt phẳng.
- Dựng hoặc nhận ra đường qua điểm vuông góc với hai đường đó.
- Chứng minh đây là đường vuông góc mặt phẳng.
- Tính độ dài bằng định lý Pythagore, hệ thức lượng hoặc thể tích.
Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1
Bài toán: Cho hình chóp \(S.ABC\) với \(SA\perp(ABC)\). Tính khoảng cách từ S đến \((ABC)\).
Lời giải: Vì SA vuông góc mặt phẳng đáy và A thuộc đáy nên khoảng cách chính là \(SA\).
Ví dụ 2
Bài toán: Biết thể tích khối chóp bằng 20 và diện tích đáy bằng 12. Tính khoảng cách từ đỉnh đến đáy.
Lời giải: Từ \(20=\frac13\cdot12\cdot h\), suy ra \(h=5\).
Lỗi thường gặp
- Chỉ chứng minh vuông góc với một đường trong mặt phẳng.
- Chọn chân vuông góc không nằm trên mặt phẳng cần xét.
- Nhầm chiều cao ứng với một đáy khác trong công thức thể tích.
Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Khi khó dựng trực tiếp, thử đổi đáy trong công thức thể tích.
- Trên hình vẽ, đánh dấu rõ hai quan hệ vuông góc dùng để chứng minh đường–mặt.
Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.
Bài tự luyện
- Bài 1: Khối chóp có đáy diện tích 18, thể tích 24. Tính chiều cao. Đáp án/Gợi ý: \(h=4\).
- Bài 2: Nếu \(SA\perp(AB)\) và \(SA\perp(AC)\), với AB và AC cắt nhau trong đáy, kết luận? Đáp án/Gợi ý: \(SA\perp(ABC)\).
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Hình học không gian. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.