Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ điểm đến mặt phẳng. Trong hình học tổng hợp, phần khó nhất là dựng đúng chân đường vuông góc; sau đó thường quy về tam giác vuông hoặc thể tích.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Quan hệ vuông góc trong không gian để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Muốn chứng minh \(AH\perp(P)\), cần chứng minh AH vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong \((P)\).
- Khoảng cách từ A đến \((P)\) bằng \(AH\) với \(H\in(P)\), \(AH\perp(P)\).
- Có thể dùng công thức thể tích \(V=\dfrac13 S_{đáy}h\) để suy ra khoảng cách khi biết thể tích và diện tích đáy.
- Trong hình chóp có cạnh bên vuông góc đáy, nhiều khoảng cách quy về đường cao trong một tam giác vuông.
Phương pháp giải theo từng bước
- Xác định mặt phẳng cần đo khoảng cách và tìm hai đường cắt nhau thuận lợi trong mặt phẳng.
- Dựng hoặc nhận ra đường qua điểm vuông góc với hai đường đó.
- Chứng minh đây là đường vuông góc mặt phẳng.
- Tính độ dài bằng định lý Pythagore, hệ thức lượng hoặc thể tích.
Ví dụ 1
Bài toán: Cho hình chóp \(S.ABC\) với \(SA\perp(ABC)\). Tính khoảng cách từ S đến \((ABC)\).
Lời giải: Vì SA vuông góc mặt phẳng đáy và A thuộc đáy nên khoảng cách chính là \(SA\).
Ví dụ 2
Bài toán: Biết thể tích khối chóp bằng 20 và diện tích đáy bằng 12. Tính khoảng cách từ đỉnh đến đáy.
Lời giải: Từ \(20=\dfrac13\cdot12\cdot h\), suy ra \(h=5\).
Lỗi thường gặp
- Chỉ chứng minh vuông góc với một đường trong mặt phẳng.
- Chọn chân vuông góc không nằm trên mặt phẳng cần xét.
- Nhầm chiều cao ứng với một đáy khác trong công thức thể tích.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Khi khó dựng trực tiếp, thử đổi đáy trong công thức thể tích.
- Trên hình vẽ, đánh dấu rõ hai quan hệ vuông góc dùng để chứng minh đường–mặt.
Bài tự luyện
- Bài 1: Khối chóp có đáy diện tích 18, thể tích 24. Tính chiều cao. Đáp án/Gợi ý: \(h=4\).
- Bài 2: Nếu \(SA\perp(AB)\) và \(SA\perp(AC)\), với AB và AC cắt nhau trong đáy, kết luận? Đáp án/Gợi ý: \(SA\perp(ABC)\).
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Hình học không gian.