Bài 26. Khoảng cách – Toán lớp 11 KNTT

Khoảng cách trong không gian được quy về độ dài đoạn vuông góc: từ điểm đến đường/mặt phẳng, giữa các đối tượng song song và giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Mục tiêu bài học

• Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng hoặc mặt phẳng.
• Hiểu khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.
• Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong trường hợp quen thuộc.

Kiến thức trọng tâm

Điểm đến đường/mặt phẳng

$d(M,a)=MH$ nếu $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $a$. Tương tự $d(M,(P))=MH$ nếu $MH\perp(P)$. Đây là khoảng cách nhỏ nhất từ $M$ đến một điểm của đối tượng.

Đường và mặt phẳng song song

Nếu $a\parallel(P)$, khoảng cách $d(a,(P))$ bằng khoảng cách từ bất kì điểm nào trên $a$ đến $(P)$.

Hai mặt phẳng song song

Nếu $(P)\parallel(Q)$, khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ bất kì điểm nào trên một mặt phẳng đến mặt phẳng kia.

Hai đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung, có hai đầu lần lượt nằm trên hai đường. Trong bài toán, có thể dựng mặt phẳng song song để đưa về khoảng cách điểm–mặt phẳng.

Ví dụ minh họa

Bài tập tự luyện

1. Khoảng cách từ điểm nằm trên mặt phẳng đến mặt phẳng bằng bao nhiêu?
2. Nếu $a\parallel(P)$ và $M\in a$, $d(a,(P))$ bằng gì?
3. Đoạn vuông góc chung của hai đường chéo nhau có đặc điểm gì?

Lỗi thường gặp

• Lấy một đoạn xiên bất kì làm khoảng cách.
• Nhầm khoảng cách với độ dài hình chiếu.
• Không chứng minh đoạn dựng được vuông góc với cả hai đối tượng cần đo.

Ghi nhớ

Xem toàn bộ nội dung trong Chương 7. Quan hệ vuông góc trong không gian hoặc Lý thuyết Toán lớp 11 KNTT.