Thống kê mô tả không chỉ hỏi tính toán mà còn yêu cầu hiểu ý nghĩa: số trung bình mô tả mức trung tâm, trung vị ít bị ảnh hưởng bởi ngoại lệ hơn, còn phương sai và độ lệch chuẩn mô tả độ phân tán.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Số trung bình là tổng các giá trị chia cho số quan sát; với bảng tần số dùng tổng \(x_i n_i\) chia tổng tần số.
- Trung vị là giá trị ở giữa sau khi sắp dữ liệu; với số lượng chẵn lấy trung bình hai giá trị giữa.
- Tứ phân vị chia dữ liệu đã sắp thành bốn phần; khoảng tứ phân vị là \(Q_3-Q_1\).
- Phương sai là trung bình của bình phương độ lệch so với số trung bình; độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai.
Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.
Phương pháp giải theo từng bước
- Sắp dữ liệu hoặc lập bảng tần số.
- Tính số trung bình và xác định vị trí trung vị, tứ phân vị.
- Tính độ lệch so với trung bình nếu cần phương sai.
- Diễn giải: chỉ số trung tâm nói về mức điển hình, chỉ số phân tán nói về độ đồng đều.
Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1
Bài toán: Dữ liệu 2, 3, 3, 5, 7. Tính số trung bình và trung vị.
Lời giải: Trung bình \((2+3+3+5+7)/5=4\). Trung vị là giá trị thứ ba, bằng 3.
Ví dụ 2
Bài toán: Hai nhóm có cùng trung bình nhưng nhóm A có độ lệch chuẩn nhỏ hơn nhóm B. Nhóm nào đồng đều hơn?
Lời giải: Nhóm A đồng đều hơn vì dữ liệu tập trung gần số trung bình hơn.
Lỗi thường gặp
- Tìm trung vị khi chưa sắp dữ liệu.
- Nhầm phương sai với độ lệch chuẩn.
- So sánh độ phân tán chỉ dựa vào trung bình.
Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Với bảng dữ liệu dài, nên kiểm tra tổng tần số trước.
- Khi diễn giải, tránh nói “độ lệch chuẩn lớn nghĩa là trung bình lớn”; hai khái niệm khác nhau.
Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.
Bài tự luyện
- Bài 1: Dữ liệu 1,2,4,8. Tính trung vị. Đáp án/Gợi ý: \((2+4)/2=3\).
- Bài 2: Dữ liệu 5,5,5,5 có phương sai bao nhiêu? Đáp án/Gợi ý: Bằng 0.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Tổ hợp – Xác suất – Thống kê. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.