Dạng phương trình bậc hai theo \(\sin x\) hoặc \(\cos x\) có thể xử lý như phương trình đại số sau khi đặt ẩn phụ. Điểm quan trọng là ẩn phụ luôn bị chặn trong đoạn \([-1,1]\), vì vậy không phải nghiệm đại số nào cũng cho nghiệm lượng giác.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Phương trình lượng giác cơ bản: sin, cos, tan để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Đặt \(t=\sin x\) hoặc \(t=\cos x\), luôn kèm điều kiện \(-1\le t\le1\).
- Giải phương trình bậc hai theo \(t\), loại các nghiệm ngoài đoạn \([-1,1]\).
- Với \(t\in[-1,1]\), quay lại giải phương trình lượng giác cơ bản.
- Nếu có cả sin và cos bậc hai, có thể dùng \(\sin^2x+\cos^2x=1\) để đưa về một ẩn.
Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.
Phương pháp giải theo từng bước
- Chọn ẩn phụ phù hợp với biểu thức xuất hiện nhiều nhất.
- Ghi miền giá trị của ẩn phụ ngay khi đặt.
- Giải phương trình đại số và lọc nghiệm ẩn phụ.
- Giải từng phương trình lượng giác và gộp nghiệm.
Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1
Bài toán: Giải \(2\sin^2x-\sin x-1=0\).
Lời giải: Đặt \(t=\sin x\), \(-1\le t\le1\). Ta có \((2t+1)(t-1)=0\), nên \(t=-1/2\) hoặc \(t=1\). Từ đó giải \(\sin x=-1/2\) và \(\sin x=1\).
Ví dụ 2
Bài toán: Giải \(2\cos^2x+3\cos x+1=0\).
Lời giải: Đặt \(t=\cos x\). Hai nghiệm đại số là \(t=-1\) và \(t=-1/2\), đều hợp lệ; giải hai phương trình cos tương ứng.
Lỗi thường gặp
- Quên điều kiện \([-1,1]\) nên giữ nghiệm ẩn phụ vô nghĩa.
- Dừng ở nghiệm \(t\) mà chưa quay lại tìm \(x\).
- Gộp các họ nghiệm sai chu kỳ.
Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Việc lọc ẩn phụ trước giúp giảm số phương trình phải giải.
- Nếu đề chỉ hỏi số nghiệm trên một đoạn, liệt kê nghiệm theo khoảng thay vì cố rút gọn họ nghiệm.
Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.
Bài tự luyện
- Bài 1: Giải \(3\sin^2x-4\sin x+1=0\). Đáp án/Gợi ý: Ẩn phụ nhận \(1\) hoặc \(1/3\).
- Bài 2: Giải \(2\cos^2x-\cos x-3=0\). Đáp án/Gợi ý: Nghiệm đại số \(3/2\) bị loại; chỉ giữ \(-1\).
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Lượng giác THPT. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.