Dạng phương trình bậc hai theo \(\sin x\) hoặc \(\cos x\) có thể xử lý như phương trình đại số sau khi đặt ẩn phụ. Điểm quan trọng là ẩn phụ luôn bị chặn trong đoạn \([-1,1]\), vì vậy không phải nghiệm đại số nào cũng cho nghiệm lượng giác.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Phương trình lượng giác cơ bản: sin, cos, tan để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Đặt \(t=\sin x\) hoặc \(t=\cos x\), luôn kèm điều kiện \(-1\le t\le1\).
- Giải phương trình bậc hai theo \(t\), loại các nghiệm ngoài đoạn \([-1,1]\).
- Với \(t\in[-1,1]\), quay lại giải phương trình lượng giác cơ bản.
- Nếu có cả sin và cos bậc hai, có thể dùng \(\sin^2x+\cos^2x=1\) để đưa về một ẩn.
Phương pháp giải theo từng bước
- Chọn ẩn phụ phù hợp với biểu thức xuất hiện nhiều nhất.
- Ghi miền giá trị của ẩn phụ ngay khi đặt.
- Giải phương trình đại số và lọc nghiệm ẩn phụ.
- Giải từng phương trình lượng giác và gộp nghiệm.
Ví dụ 1
Bài toán: Giải \(2\sin^2x-\sin x-1=0\).
Lời giải: Đặt \(t=\sin x\), \(-1\le t\le1\). Ta có \((2t+1)(t-1)=0\), nên \(t=-1/2\) hoặc \(t=1\). Từ đó giải \(\sin x=-1/2\) và \(\sin x=1\).
Ví dụ 2
Bài toán: Giải \(2\cos^2x+3\cos x+1=0\).
Lời giải: Đặt \(t=\cos x\). Hai nghiệm đại số là \(t=-1\) và \(t=-1/2\), đều hợp lệ; giải hai phương trình cos tương ứng.
Lỗi thường gặp
- Quên điều kiện \([-1,1]\) nên giữ nghiệm ẩn phụ vô nghĩa.
- Dừng ở nghiệm \(t\) mà chưa quay lại tìm \(x\).
- Gộp các họ nghiệm sai chu kỳ.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Việc lọc ẩn phụ trước giúp giảm số phương trình phải giải.
- Nếu đề chỉ hỏi số nghiệm trên một đoạn, liệt kê nghiệm theo khoảng thay vì cố rút gọn họ nghiệm.
Bài tự luyện
- Bài 1: Giải \(3\sin^2x-4\sin x+1=0\). Đáp án/Gợi ý: Ẩn phụ nhận \(1\) hoặc \(1/3\).
- Bài 2: Giải \(2\cos^2x-\cos x-3=0\). Đáp án/Gợi ý: Nghiệm đại số \(3/2\) bị loại; chỉ giữ \(-1\).
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Lượng giác THPT.