Phương trình bậc hai chứa tham số thường không khó ở phép tính mà khó ở việc chia đúng trường hợp. Trọng tâm là nhận ra khi nào phương trình thực sự bậc hai, khi nào suy biến và cách dùng biệt thức để kiểm soát số nghiệm.
Để biện luận số nghiệm theo tham số chắc hơn, bạn nên xem lại phương pháp biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thị; hai cách nhìn qua biệt thức và đồ thị bổ trợ trực tiếp cho nhau.
Kiến thức cần nhớ
- Với \(ax^2+bx+c=0\), điều kiện để là phương trình bậc hai là \(a\ne0\).
- Biệt thức \(\Delta=b^2-4ac\): \(\Delta>0\) có hai nghiệm phân biệt, \(\Delta=0\) có nghiệm kép, \(\Delta\lt 0\) vô nghiệm thực.
- Nếu hệ số phụ thuộc tham số, phải xét riêng giá trị làm hệ số \(a\) bằng 0 trước khi dùng biệt thức.
- Định lý Viète giúp chuyển điều kiện về tổng và tích hai nghiệm: \(x_1+x_2=-b/a\), \(x_1x_2=c/a\).
Phương pháp giải theo từng bước
- Đưa phương trình về dạng chuẩn theo \(x\).
- Tìm giá trị tham số làm hệ số \(x^2\) bằng 0 và xử lý trường hợp suy biến.
- Ở trường hợp còn lại, lập \(\Delta\) hoặc \(\Delta’\) rồi giải điều kiện theo yêu cầu số nghiệm.
- Nếu đề cho thêm điều kiện của nghiệm, kết hợp Viète và điều kiện tồn tại nghiệm.
Ví dụ 1
Bài toán: Tìm \(m\) để \(x^2-2(m+1)x+m^2-1=0\) có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải: Ta có \(\Delta=4(m+1)^2-4(m^2-1)=8(m+1)\). Hai nghiệm phân biệt khi \(m>-1\).
Ví dụ 2
Bài toán: Tìm \(m\) để \((m-1)x^2-2x+1=0\) có đúng một nghiệm thực.
Lời giải: Nếu \(m=1\), phương trình trở thành \(-2x+1=0\), có đúng một nghiệm. Nếu \(m\ne1\), cần \(\Delta=4-4(m-1)=8-4m=0\), suy ra \(m=2\). Vậy \(m\in\{1,2\}\).
Lỗi thường gặp
- Dùng biệt thức ngay mà quên kiểm tra hệ số bậc hai có thể bằng 0.
- Nhầm “có nghiệm” với “có hai nghiệm phân biệt”.
- Dùng Viète khi phương trình chưa được bảo đảm có hai nghiệm thực.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Khi gặp tham số, hãy khoanh ngay các hệ số có chứa tham số.
- Nếu kết quả có nhiều khoảng, thử một giá trị đại diện để phát hiện sai dấu.
Bài tự luyện
- Bài 1: Tìm \(m\) để \(x^2-2mx+m+2=0\) có hai nghiệm phân biệt. Đáp án/Gợi ý: Điều kiện: \(m^2-m-2>0\), tức \(m\lt -1\) hoặc \(m>2\).
- Bài 2: Tìm \(m\) để \(x^2+(m-1)x+m=0\) có nghiệm kép. Đáp án/Gợi ý: Giải \((m-1)^2-4m=0\).
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Đại số & Hàm số THPT.