Bài này tập trung vào mô hình tăng hoặc giảm theo một tỉ lệ cố định qua từng kỳ trong các tình huống như dân số, số lượng sinh vật, sản lượng hay giá trị còn lại. Trọng tâm là lập mô hình \(A_n=A_0q^n\), đọc đúng hệ số tăng trưởng và giải ngược số kỳ. Các bài gửi tiền và lãi nhập gốc được tách sang bài lãi kép để tránh trộn hai mục tiêu học.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Tăng \(r\) mỗi kỳ: \(A_n=A_0(1+r)^n\).
- Giảm \(r\) mỗi kỳ: \(A_n=A_0(1-r)^n\), với \(0\lt r\lt 1\).
- Nếu biết hệ số tăng trưởng \(q\), có thể viết gọn \(A_n=A_0q^n\); \(q>1\) là tăng, \(0\lt q\lt1\) là giảm.
- Khi cần tìm số kỳ để đạt một ngưỡng, cô lập lũy thừa rồi dùng logarit; nếu số kỳ phải nguyên thì làm tròn theo đúng yêu cầu “ít nhất” hoặc “không quá”.
Quy trình giải theo từng bước
- Đổi phần trăm thành số thập phân, ví dụ 5% = 0,05.
- Xác định một kỳ là tháng, quý hay năm và thống nhất với số mũ.
- Lập công thức trước rồi mới thay số.
- Nếu tìm số kỳ nguyên tối thiểu, giải bất phương trình logarit và làm tròn theo đúng ý nghĩa “đủ ít nhất”.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Một quần thể có 8 000 cá thể và tăng 12% sau mỗi năm. Theo mô hình tăng trưởng rời rạc, sau 6 năm có khoảng bao nhiêu cá thể?
Lời giải: \(N=8000(1,12)^6\approx15790\). Theo mô hình, quần thể sau 6 năm xấp xỉ 15 790 cá thể.
Ví dụ 2
Bài toán: Dân số ban đầu 50 000, tăng 2% mỗi năm. Sau 5 năm theo mô hình mũ?
Lời giải: \(P=50000(1.02)^5\approx55204\) người; đây là giá trị mô hình, việc làm tròn cần theo yêu cầu thực tế.
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Dùng \(A=A_0(1+nr)\) cho lãi kép; đó là mô hình lãi đơn.
- Dùng 5 thay cho 0,05 khi lãi suất 5%.
- Số mũ tính theo tháng nhưng r lại là lãi suất năm.
- Làm tròn sau mỗi kỳ thay vì giữ đủ độ chính xác đến cuối nếu đề không yêu cầu.
Bài tập tự luyện
-
100 tăng 10% một kỳ
Đáp số/Gợi ý: 110
-
100 tăng 10% hai kỳ kép
Đáp số/Gợi ý: 121
-
200 giảm 5% một kỳ
Đáp số/Gợi ý: 190
-
Công thức gấp đôi với r mỗi kỳ
Đáp số/Gợi ý: Giải \((1+r)^n\ge2\)
Checklist trước khi kết luận
- Đã xác định đúng tỉ lệ tăng/giảm mỗi kỳ và đổi phần trăm về hệ số nhân?
- Mốc ban đầu và số kỳ tăng trưởng có khớp với cách đặt biến thời gian?
- Nếu giải ngược thời gian bằng logarit, kết quả đã được làm tròn theo ý nghĩa thực tế của bài toán?
Riêng các bài gửi tiết kiệm, lãi nhập gốc và tìm số kỳ được trình bày sâu hơn trong bài toán lãi kép bằng hàm mũ.
Xem thêm các bài cùng nhóm Toán thực tế – Mô hình hóa.