Trong các bài toán bất đẳng thức THCS, cần nhớ đúng điều kiện áp dụng, chiều đánh giá và trường hợp xảy ra dấu bằng. Dưới đây là các bất đẳng thức thường gặp được viết theo dạng an toàn để sử dụng.
Phạm vi: Đây là nội dung Toán THCS nâng cao, phù hợp học sinh khá giỏi, ôn HSG và thi vào lớp 10 chuyên; không phải toàn bộ kiến thức trong bài đều thuộc yêu cầu chính khóa.
1. AM-GM
Với \(a_1,\ldots,a_n\ge0\): \[\dfrac{a_1+\cdots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}.\]
Dấu bằng khi \(a_1=\cdots=a_n\).
2. Cauchy–Schwarz
\[(a_1^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+\cdots+b_n^2)\ge(a_1b_1+\cdots+a_nb_n)^2.\]
3. Cauchy–Schwarz dạng Engel
Với \(x_i>0\): \[\dfrac{a_1^2}{x_1}+\cdots+\dfrac{a_n^2}{x_n}\ge\dfrac{(a_1+\cdots+a_n)^2}{x_1+\cdots+x_n}.\]
4. Bất đẳng thức tam giác
\[|x+y|\le|x|+|y|,\qquad ||x|-|y||\le|x-y|.\]
5. AM-HM
Với \(a_i>0\): \[\dfrac{a_1+\cdots+a_n}{n}\ge\dfrac{n}{\dfrac1{a_1}+\cdots+\dfrac1{a_n}}.\]
6. Nesbitt
Với \(a,b,c>0\): \[\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac32.\]
7. Chebyshev
Nếu hai dãy \(a_1\ge\cdots\ge a_n\) và \(b_1\ge\cdots\ge b_n\) cùng chiều thì:
\[\dfrac{\sum a_ib_i}{n}\ge\dfrac{\sum a_i}{n}\cdot\dfrac{\sum b_i}{n}.\]
Nếu hai dãy sắp ngược chiều thì chiều bất đẳng thức đổi lại.
8. Bernoulli
Với \(x>-1\) và số nguyên \(n\ge1\): \[(1+x)^n\ge1+nx.\]
9. Bất đẳng thức Schur với r=1 (dạng bậc ba)
Với \(a,b,c\ge0\):
\[a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\ge0.\]
Tương đương: \[a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b.\]
10. Bình phương không âm
\[(a-b)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab.\]
Cách chọn công cụ
- Tổng – tích của số không âm: nghĩ đến AM-GM.
- Tổng bình phương hoặc bình phương của tổng: nghĩ đến Cauchy–Schwarz.
- Tổng \(a_i^2/x_i\): nghĩ đến Engel.
- Phân thức chu kỳ ba biến dương: thử Nesbitt.
- Biểu thức đối xứng ba biến bậc cao: thử Schur hoặc tổng bình phương.
Khi tìm GTLN, GTNN phải kiểm tra cận có đạt được và điều kiện dấu bằng có phù hợp miền xác định.
Bài viết liên quan
- Chuyên đề Bất đẳng thức và Cực trị THCS
- Bất đẳng thức Bunhiacopxki
- Bất đẳng thức Cosi (AM-GM)
- Một số bài toán Bất đẳng thức chọn lọc thi vào 10 năm 2023
- 14 bổ đề bất đẳng thức thường gặp
Mở rộng: chọn bất đẳng thức nào?
| Dấu hiệu của đề | Công cụ nên thử |
|---|---|
| Tổng và tích của các số dương | AM-GM |
| Tổng bình phương, tích vô hướng dạng đại số | Cauchy–Schwarz |
| Biểu thức đối xứng ba biến bậc ba | Schur với \(r=1\) |
| Dãy hai chiều cùng thứ tự | Chebyshev |
| Lũy thừa \((1+x)^n\) | Bernoulli khi điều kiện phù hợp |
Không nên cố gắng dùng một bất đẳng thức chỉ vì “nhìn quen”. Hãy kiểm tra điều kiện áp dụng và dấu bằng. Nếu cận thu được đúng nhưng không đạt được dấu bằng theo điều kiện bài, phép đánh giá thường chưa đủ sắc.
Bài tập nhận dạng
Với \(a,b>0\), bài \(a+b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) gợi ý ghép từng cặp bằng AM-GM. Với bài chứa \((a+b)^2\) và \(a^2+b^2\), Cauchy–Schwarz hoặc biến đổi về \((a-b)^2\) thường tự nhiên hơn.