Rút gọn biểu thức chứa căn lớp 9: phương pháp và bài tập

Rút gọn biểu thức chứa căn là chuyên đề trọng tâm của Đại số lớp 9, thường đi kèm các yêu cầu tìm điều kiện xác định, tính giá trị, giải phương trình, tìm giá trị nguyên hoặc chứng minh bất đẳng thức. Muốn làm chắc dạng này, cần đặt điều kiện trước rồi mới biến đổi.

1. Kiến thức cần nhớ

\(\sqrt{A}\) có nghĩa khi \(A\ge 0\).
Nếu căn nằm ở mẫu thì ngoài điều kiện dưới căn không âm còn phải bảo đảm mẫu khác 0.
\(\sqrt{x^2}=|x|\), không được tự động viết bằng \(x\).
\((\sqrt{x}-a)(\sqrt{x}+a)=x-a^2\).
\((\sqrt{x}\pm a)^2=x+a^2\pm2a\sqrt{x}\).

2. Quy trình rút gọn

Tìm điều kiện xác định.
Phân tích mẫu thành nhân tử nếu có thể.
Quy đồng các phân thức.
Dùng hằng đẳng thức để rút gọn nhân tử chung.
Chỉ khử nhân tử khi biết chắc nhân tử đó khác 0 theo điều kiện xác định.

3. Ví dụ 1: rút gọn trực tiếp

Với \(x\ge0\), \(x\ne1\), rút gọn:

\(P=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}\).

Ta có:

\(P=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}=1\).

Điều kiện \(x\ne1\) không được bỏ dù biểu thức sau rút gọn chỉ còn bằng 1.

4. Ví dụ 2: dùng liên hợp

Với \(x\ge0\), \(x\ne1\), xét:

\(Q=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right)\dfrac{x-1}{2}\).

Hiệu trong ngoặc bằng:

\(\dfrac{2}{x-1}\).

Do đó \(Q=1\).

5. Ví dụ 3: khử nhân tử đúng điều kiện

Với \(x\ge0\), \(x\ne4\):

\(A=\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}\).

Vì \(x-4=(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)\), nên:

\(A=\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\).

Không được quên điều kiện \(x\ne4\), vì tại \(x=4\) biểu thức ban đầu không xác định.

6. Các câu hỏi thường đi kèm sau rút gọn

Tính giá trị biểu thức khi biết \(x\).
Tìm \(x\) để biểu thức bằng một số cho trước.
Tìm \(x\) nguyên để giá trị biểu thức là số nguyên.
So sánh biểu thức với 0, 1 hoặc một biểu thức khác.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ở mức phù hợp THCS.

7. Lỗi thường gặp

Quên điều kiện mẫu khác 0.
Viết \(\sqrt{x^2}=x\) khi chưa biết dấu của \(x\).
Khử \(\sqrt{x}-a\) nhưng quên loại \(x=a^2\).
Quy đồng sai vì bỏ ngoặc ở tử.

8. Bài tập tự luyện ngắn

Rút gọn \(\dfrac{x-9}{\sqrt{x}-3}\), với \(x\ge0\), \(x\ne9\).
Rút gọn \(\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\), với \(x\ge0\), \(x\ne4\).
Rút gọn \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\), với \(x\ge0\).

Đáp số: (1) \(\sqrt{x}+3\); (2) \(\dfrac{4}{x-4}\); (3) 1.

Xem thêm Chuyên đề Đại số THCS.