Khảo sát hàm số là quá trình tổng hợp nhiều kiến thức: tập xác định, đạo hàm, cực trị, giới hạn, tiệm cận và giao điểm với các trục. Mục tiêu không phải chỉ “vẽ hình” mà là mô tả đầy đủ hình dạng và sự biến thiên của đồ thị.
1. Quy trình khảo sát
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm, giải \(f'(x)=0\) và tìm các điểm đạo hàm không xác định.
- Xét dấu đạo hàm, suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị.
- Tính giới hạn ở biên của tập xác định và ở vô cực; xác định tiệm cận nếu có.
- Tìm các giao điểm cần thiết với trục tọa độ hoặc một số điểm đặc trưng.
- Lập bảng biến thiên và phác họa đồ thị phù hợp với toàn bộ kết quả trên.
2. Ví dụ với hàm bậc ba
Xét \(f(x)=\frac12(x^3-3x)\). Hàm xác định trên \(\mathbb R\). Ta có \(f'(x)=\frac32(x^2-1)\), nên các điểm tới hạn là \(x=-1,1\). Từ dấu đạo hàm suy ra hàm đồng biến trên \(( -\infty,-1)\), \((1,+\infty)\), nghịch biến trên \((-1,1)\). Hai điểm cực trị cùng các giao điểm với trục giúp định vị đồ thị.
3. Kiểm tra hình vẽ
Sau khi vẽ, nên đối chiếu: đồ thị có đi qua các điểm đã tính không, nhánh đồ thị có đúng chiều tăng giảm không, vị trí cực đại/cực tiểu có phù hợp bảng biến thiên không và đồ thị có tiến gần các đường tiệm cận đúng phía hay không.
Ghi nhớ: bảng biến thiên là “khung xương” của đồ thị; vẽ đồ thị trái với bảng biến thiên là sai dù các phép tính riêng lẻ trước đó đúng.
Xem thêm: Lý thuyết Toán 12 Kết nối tri thức – Chương 1 · Lý thuyết Toán lớp 12.