Đường tiệm cận mô tả xu hướng của đồ thị khi biến số tiến tới một giá trị đặc biệt hoặc khi \(|x|\) rất lớn. Trong chương trình Toán 12, cần nhận biết ba loại thường gặp: tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên.
1. Tiệm cận đứng
Đường thẳng \(x=x_0\) là tiệm cận đứng của đồ thị nếu ít nhất một trong các giới hạn một phía \(\lim_{x\to x_0^-}f(x)\), \(\lim_{x\to x_0^+}f(x)\) bằng \(+\infty\) hoặc \(-\infty\).
2. Tiệm cận ngang
Đường thẳng \(y=y_0\) là tiệm cận ngang nếu \(\lim_{x\to +\infty}f(x)=y_0\) hoặc \(\lim_{x\to -\infty}f(x)=y_0\). Hai phía vô cực có thể cho hai tiệm cận ngang khác nhau.
3. Tiệm cận xiên
Đường thẳng \(y=ax+b\) với \(a\ne0\) là tiệm cận xiên nếu \(\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\). Có thể tìm \(a=\lim f(x)/x\), sau đó \(b=\lim[f(x)-ax]\) khi các giới hạn hữu hạn và tồn tại.
4. Ví dụ
Với \(f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}\), khi \(x\to1^\pm\), giá trị hàm số có độ lớn tiến tới vô cực nên \(x=1\) là tiệm cận đứng. Mặt khác \(\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x+1}{x-1}=1\), vì vậy \(y=1\) là tiệm cận ngang.
Ghi nhớ: nghiệm của mẫu số chỉ là ứng viên cho tiệm cận đứng; nếu tử và mẫu cùng triệt tiêu làm giới hạn hữu hạn thì không có tiệm cận đứng tại điểm đó.
Xem thêm: Lý thuyết Toán 12 Kết nối tri thức – Chương 1 · Lý thuyết Toán lớp 12.