Phương trình đường tròn là cầu nối giữa hình học và đại số tọa độ. Nhiều bài chỉ cần nhận đúng tâm và bán kính từ dạng chuẩn hoặc hoàn thành bình phương từ dạng khai triển.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Tích vô hướng của hai vectơ để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Dạng chuẩn: \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\) có tâm \(I(a,b)\), bán kính \(R>0\).
- Dạng \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) có thể hoàn thành bình phương để tìm tâm.
- Đường tròn tâm I đi qua M có \(R=IM\).
- Tiếp tuyến tại điểm M trên đường tròn vuông góc với bán kính IM.
Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.
Phương pháp giải theo từng bước
- Nếu biết tâm và bán kính, viết ngay dạng chuẩn.
- Nếu biết tâm và một điểm, tính bình phương khoảng cách để có \(R^2\).
- Nếu phương trình khai triển, gom theo x, y rồi hoàn thành bình phương.
- Kiểm tra \(R^2>0\) để bảo đảm đường tròn thực.
Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1
Bài toán: Tìm tâm và bán kính của \((x-2)^2+(y+1)^2=9\).
Lời giải: Tâm \(I(2,-1)\), bán kính 3.
Ví dụ 2
Bài toán: Viết đường tròn tâm \(I(1,2)\) đi qua \(M(4,6)\).
Lời giải: \(R^2=IM^2=3^2+4^2=25\). Phương trình \((x-1)^2+(y-2)^2=25\).
Lỗi thường gặp
- Đọc sai dấu tọa độ tâm: \((y+1)^2\) cho tung độ tâm -1.
- Viết \(R\) thay vì \(R^2\) ở vế phải.
- Hoàn thành bình phương thiếu phần bù.
Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Để tránh sai dấu, đối chiếu với \((x-a)^2\), không đọc trực tiếp từ dấu trong ngoặc.
- Khi hoàn thành bình phương, cộng và trừ cùng một lượng.
Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.
Bài tự luyện
- Bài 1: Tìm tâm của \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\). Đáp án/Gợi ý: Hoàn thành bình phương được tâm \((2,-3)\).
- Bài 2: Viết đường tròn tâm O bán kính 5. Đáp án/Gợi ý: \(x^2+y^2=25\).
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Vectơ – Tọa độ Oxy. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.