Đường thẳng trong Oxy có thể được xác định bởi một điểm và vectơ pháp tuyến, một điểm và vectơ chỉ phương, hoặc hai điểm phân biệt. Chọn đúng dạng phương trình giúp giảm phép tính và hạn chế nhầm hệ số.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Tích vô hướng của hai vectơ để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Dạng tổng quát \(Ax+By+C=0\) có vectơ pháp tuyến \((A,B)\).
- Nếu vectơ chỉ phương là \((u,v)\), một vectơ pháp tuyến có thể là \((v,-u)\).
- Đường thẳng qua \(M(x_0,y_0)\) và có pháp tuyến \((A,B)\): \(A(x-x_0)+B(y-y_0)=0\).
- Hai đường thẳng song song có các vectơ pháp tuyến cùng phương.
Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.
Phương pháp giải theo từng bước
- Xác định dữ kiện: điểm, chỉ phương hay pháp tuyến.
- Chọn dạng phương trình phù hợp.
- Thế tọa độ điểm để tìm hằng số nếu cần.
- Rút gọn hệ số và kiểm tra điểm đã cho có thỏa phương trình.
Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1
Bài toán: Lập phương trình đường thẳng qua \(M(1,2)\), pháp tuyến \((3,-1)\).
Lời giải: \(3(x-1)-(y-2)=0\), hay \(3x-y-1=0\).
Ví dụ 2
Bài toán: Lập đường thẳng qua \(A(0,1)\), \(B(2,5)\).
Lời giải: Vectơ chỉ phương \((2,4)\sim(1,2)\), lấy pháp tuyến \((2,-1)\). Qua A: \(2x-(y-1)=0\), tức \(2x-y+1=0\).
Lỗi thường gặp
- Nhầm vectơ chỉ phương với pháp tuyến.
- Lập phương trình nhưng không kiểm tra điểm đi qua.
- Giữ hệ số quá lớn dù có thể rút gọn.
Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Sau khi lập xong, thế lại một điểm để kiểm tra trong vài giây.
- Nếu hai điểm có cùng tung độ hoặc hoành độ, nhận ra đường ngang/dọc để làm nhanh.
Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.
Bài tự luyện
- Bài 1: Đường thẳng qua \((2,-1)\), pháp tuyến \((1,4)\). Đáp án/Gợi ý: \(x+4y+2=0\).
- Bài 2: Đường thẳng qua \((1,1),(4,1)\). Đáp án/Gợi ý: \(y=1\).
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Vectơ – Tọa độ Oxy. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.