Dạng đếm số lập được cần xác định rõ số chữ số, có được lặp chữ số hay không và chữ số đầu tiên có thể là 0 hay không. Nên dùng quy tắc nhân theo từng vị trí.
1. Kiến thức cần nhớ
- Mỗi vị trí có một số cách chọn; nếu các lựa chọn độc lập thì nhân số cách.
- Chữ số đầu của số có nhiều chữ số không được là 0.
- Nếu không lặp, sau mỗi lần chọn số lựa chọn giảm đi.
- Nếu có điều kiện chẵn/lẻ/chia hết, thường xử lý chữ số cuối trước.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Từ 1,2,3 lập số có 3 chữ số không lặp: 3×2×1 = 6 số.
Ví dụ 2: Từ 0,1,2,3 lập số có 3 chữ số không lặp: hàng trăm 3 cách, hàng chục 3 cách, hàng đơn vị 2 cách → 18.
Ví dụ 3: Từ 1,2,3,4 lập số chẵn 2 chữ số không lặp: hàng đơn vị 2 cách (2,4), hàng chục 3 cách → 6.
3. Cách áp dụng vào bài tập
- Xác định số có bao nhiêu chữ số, các chữ số có được lặp hay không và chữ số đầu có được bằng 0 hay không.
- Chọn chữ số cho hàng cao nhất trước vì hàng này thường có điều kiện đặc biệt về số 0.
- Đếm số lựa chọn cho từng hàng; nếu các lựa chọn độc lập thì nhân số cách theo quy tắc nhân.
- Nếu bài có điều kiện chia hết, chẵn/lẻ hoặc lớn hơn một mốc, xử lý điều kiện hạn chế ở hàng đơn vị hoặc hàng cao trước rồi mới đếm các hàng còn lại.
Điểm cần tự kiểm tra: Nên kiểm tra bằng cách liệt kê ở một trường hợp nhỏ. Điều này giúp phát hiện lỗi “cho phép lặp” hay “không cho phép lặp” trước khi áp dụng cho số nhiều chữ số.
4. Lỗi thường gặp
- Cho 0 đứng đầu.
- Quên giảm lựa chọn khi không lặp.
- Cộng số cách thay vì nhân trong các bước liên tiếp.
5. Bài tự luyện
- Từ 2,4,6 lập bao nhiêu số có 3 chữ số không lặp?
- Từ 0,1,2 lập bao nhiêu số có 2 chữ số không lặp?
- Từ 1,2,3,4 lập bao nhiêu số chẵn có 2 chữ số không lặp?
Đáp số: 6; 4; 6.
Học tiếp theo chuyên đề
Đếm theo từng vị trí thay vì liệt kê ngẫu nhiên
Với các chữ số 1, 2, 3, lập số có hai chữ số không lặp: hàng chục có 3 cách chọn, sau đó hàng đơn vị còn 2 cách, nên có 3 × 2 = 6 số.
Khi có chữ số 0
0 không được đứng ở hàng cao nhất của một số nhiều chữ số. Từ 0, 2, 5, 7 lập số có ba chữ số chẵn, không lặp:
- Nếu hàng đơn vị là 0: hàng trăm có 3 cách, hàng chục có 2 cách → 6 số.
- Nếu hàng đơn vị là 2: hàng trăm chỉ có 5 hoặc 7 → 2 cách; hàng chục còn 2 cách → 4 số.
Tổng cộng 10 số.
Được lặp và không được lặp khác nhau hoàn toàn
Từ 1, 2, 3 lập số có ba chữ số nếu được lặp thì mỗi hàng có 3 lựa chọn, có 3 × 3 × 3 = 27 số. Nếu không lặp, chỉ có 3 × 2 × 1 = 6 số.
Dùng điều kiện để chọn vị trí trước
Nếu đề hỏi số chẵn, chọn hàng đơn vị trước. Nếu hỏi chia hết cho 5, hàng đơn vị phải là 0 hoặc 5. Cách này giảm rất nhiều trường hợp phải xét.
Bài luyện
Từ 0, 1, 4, 6 lập bao nhiêu số có hai chữ số chẵn, không lặp?
Đáp số: 7 số.