Trong Oxyz, vectơ có ba thành phần và các phép toán là mở rộng trực tiếp từ Oxy. Nắm chắc vectơ là nền để học mặt phẳng, đường thẳng, khoảng cách và góc trong không gian.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Nếu \(A(x_A,y_A,z_A),B(x_B,y_B,z_B)\) thì \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)\).
- \(\vec u=(a,b,c)\) có độ dài \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).
- Tích vô hướng: \(\vec u\cdot\vec v=aa’+bb’+cc’\).
- Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng bằng 0; cùng phương khi tọa độ tỉ lệ.
Quy trình giải theo từng bước
- Giữ đúng thứ tự x, y, z trong mọi phép toán.
- Chuyển điểm thành vectơ khi bài hỏi hướng hoặc khoảng cách.
- Dùng tích vô hướng cho góc/vuông góc.
- Rút gọn và kiểm tra bằng độ dài hoặc điều kiện hình học nếu có.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Cho \(A(1,2,3),B(4,0,-1)\). Tìm \(\overrightarrow{AB}\).
Lời giải: \((3,-2,-4)\).
Ví dụ 2
Bài toán: Cho \(\vec u=(1,2,2)\). Tính độ dài.
Lời giải: \(|\vec u|=\sqrt{1+4+4}=3\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Bỏ quên tọa độ z và tính như Oxy.
- Đảo dấu khi tính \(\overrightarrow{AB}\).
- Tính tích vô hướng thành căn tổng bình phương.
- Kết luận hai vectơ cùng phương khi chỉ hai thành phần tỉ lệ.
Bài tập tự luyện
-
\((1,0,0)\cdot(0,1,0)\)
Đáp số/Gợi ý: 0
-
Độ dài \((2,3,6)\)
Đáp số/Gợi ý: 7
-
\((1,2,3)+(3,2,1)\)
Đáp số/Gợi ý: \((4,4,4)\)
-
\(2(1,-1,3)\)
Đáp số/Gợi ý: \((2,-2,6)\)
Checklist trước khi kết luận
- Đã viết đúng tọa độ vectơ bằng hiệu tọa độ điểm cuối và điểm đầu?
- Các phép cộng, trừ, tích vô hướng trong Oxyz đã thực hiện đủ cả ba tọa độ?
- Nếu kiểm tra cùng phương hoặc vuông góc, đã xử lý riêng trường hợp vectơ có tọa độ bằng 0 khi cần?
Từ tọa độ vectơ trong Oxyz, có thể chuyển sang cách lập phương trình mặt phẳng.
Xem thêm các bài cùng nhóm Tọa độ Oxyz.