Quy tắc cộng dùng khi các phương án loại trừ nhau; quy tắc nhân dùng khi một công việc gồm nhiều bước liên tiếp. Nhận đúng cấu trúc “hoặc” và “và” là chìa khóa của bài toán đếm.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Nếu công việc có thể thực hiện theo phương án A hoặc B và hai phương án không trùng nhau, tổng số cách là \(n(A)+n(B)\).
- Nếu công việc gồm bước 1 có \(m\) cách và sau mỗi lựa chọn ở bước 1, bước 2 có \(n\) cách, tổng số cách là \(mn\).
- Khi các trường hợp cộng có giao nhau, phải tách lại cho rời nhau hoặc dùng nguyên lý bù/trừ giao.
- Một bài có thể cần kết hợp nhiều lần quy tắc cộng và nhân.
Quy trình giải theo từng bước
- Xác định “một kết quả cuối cùng” gồm mấy bước.
- Nếu chọn theo các nhánh thay thế nhau, dùng cộng giữa các nhánh.
- Trong mỗi nhánh, nếu phải thực hiện lần lượt nhiều lựa chọn, dùng nhân.
- Kiểm tra có đếm trùng hoặc bỏ sót trường hợp không.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Có 4 áo và 3 quần. Chọn một bộ gồm một áo và một quần có bao nhiêu cách?
Lời giải: Hai bước độc lập: chọn áo 4 cách, chọn quần 3 cách. Có \(4\cdot3=12\) cách.
Ví dụ 2
Bài toán: Chọn một cuốn sách từ 5 sách Toán hoặc 7 sách Văn, các cuốn khác nhau.
Lời giải: Hai nhóm lựa chọn rời nhau nên có \(5+7=12\) cách.
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Thấy chữ “hoặc” là cộng ngay dù hai nhóm có phần giao.
- Thấy nhiều con số là nhân tất cả mà không phân tích bước.
- Đếm số cách chọn nhưng coi thứ tự là quan trọng dù đề chỉ tạo một tập hợp.
- Không tách trường hợp khi có điều kiện đặc biệt như chữ số đầu không được bằng 0.
Bài tập tự luyện
-
3 đường từ A đến B, 4 đường từ B đến C: đi A-B-C
Đáp số/Gợi ý: 12 cách
-
Chọn 1 bút xanh trong 6 hoặc 1 bút đỏ trong 5
Đáp số/Gợi ý: 11 cách
-
Mật khẩu 2 ký tự, mỗi ký tự chọn từ 10 chữ số, cho phép lặp
Đáp số/Gợi ý: 100 cách
-
Chọn một số chẵn một chữ số hoặc số lẻ một chữ số dương
Đáp số/Gợi ý: 10 cách nếu xét 0–9 (5 số chẵn: 0, 2, 4, 6, 8 và 5 số lẻ dương: 1, 3, 5, 7, 9)
Checklist trước khi kết luận
- Đã xác định các phương án là loại trừ nhau trước khi cộng số cách?
- Với công việc nhiều bước, số lựa chọn ở mỗi bước có phụ thuộc lựa chọn trước đó không?
- Có trường hợp nào bị đếm hai lần hoặc bị bỏ sót khi chia trường hợp?
Khi bài đếm đã xác định đúng các bước cộng – nhân, có thể chuyển sang hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.
Xem thêm các bài cùng nhóm Tổ hợp – Xác suất – Thống kê.