Tính đơn điệu và cực trị là hai nội dung nền tảng khi nghiên cứu sự biến thiên của hàm số. Công cụ chính là đạo hàm: dấu của \(f'(x)\) cho biết hàm số đang tăng hay giảm, còn sự đổi dấu của đạo hàm quanh một điểm giúp nhận biết cực đại hoặc cực tiểu.
1. Tính đơn điệu của hàm số
Giả sử hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \(K\).
- Nếu \(f'(x)>0\) với mọi \(x\in K\) thì hàm số đồng biến trên \(K\).
- Nếu \(f'(x)<0\) với mọi \(x\in K\) thì hàm số nghịch biến trên \(K\).
Khi \(f'(x)\ge 0\) hoặc \(f'(x)\le 0\), đạo hàm có thể bằng 0 tại một số điểm rời rạc mà hàm số vẫn đơn điệu trên khoảng đang xét. Vì vậy, khi lập bảng xét dấu cần chú ý cả các điểm đạo hàm bằng 0 và các điểm đạo hàm không xác định.
2. Cực trị của hàm số
Nếu khi đi qua \(x_0\), \(f'(x)\) đổi dấu từ dương sang âm thì \(x_0\) là điểm cực đại. Nếu \(f'(x)\) đổi dấu từ âm sang dương thì \(x_0\) là điểm cực tiểu. Trường hợp \(f'(x_0)=0\) nhưng đạo hàm không đổi dấu thì \(x_0\) không phải điểm cực trị.
Nếu \(f'(x_0)=0\) và \(f”(x_0)\ne0\), có thể dùng đạo hàm cấp hai: \(f”(x_0)<0\) cho cực đại, \(f”(x_0)>0\) cho cực tiểu.
3. Ví dụ
Xét \(f(x)=x^3-3x\). Ta có \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\). Đạo hàm dương trên \(( -\infty,-1)\) và \((1,+\infty)\), âm trên \((-1,1)\). Do đó hàm số đồng biến trên hai khoảng ngoài, nghịch biến trên \((-1,1)\); \(x=-1\) là điểm cực đại và \(x=1\) là điểm cực tiểu.
Ghi nhớ: không kết luận cực trị chỉ từ điều kiện \(f'(x_0)=0\); cần xét sự đổi dấu của đạo hàm hoặc dùng điều kiện đạo hàm cấp hai phù hợp.
Xem thêm: Lý thuyết Toán 12 Kết nối tri thức – Chương 1 · Lý thuyết Toán lớp 12.