Một mặt phẳng trong hệ tọa độ \(Oxyz\) được mô tả thuận tiện bằng một vectơ pháp tuyến. Từ điểm thuộc mặt phẳng và vectơ pháp tuyến, ta lập được phương trình tổng quát.
1. Phương trình tổng quát
Mặt phẳng \((P)\) có dạng:
\[Ax+By+Cz+D=0,\qquad (A,B,C)\ne(0,0,0),\]
trong đó \(\vec n=(A;B;C)\) là một vectơ pháp tuyến.
Nếu \((P)\) đi qua \(M(x_0;y_0;z_0)\) và nhận \(\vec n=(A;B;C)\) làm pháp tuyến:
\[A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.\]
2. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Với \(M(x_0;y_0;z_0)\):
\[d(M,(P))=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.\]
3. Ví dụ
Mặt phẳng đi qua \(M(1;0;2)\) và có pháp tuyến \((2;-1;3)\):
\[2(x-1)-y+3(z-2)=0\Leftrightarrow 2x-y+3z-8=0.\]
Ghi nhớ: hai mặt phẳng song song khi các vectơ pháp tuyến cùng phương; vuông góc khi tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến bằng 0.
Xem thêm: Lý thuyết Toán 12 Kết nối tri thức – Chương 5 · Lý thuyết Toán lớp 12.