Trong không gian, góc giữa hai đường thẳng được xác định bằng góc giữa hai đường thẳng song song với chúng đi qua cùng một điểm; từ đó định nghĩa hai đường thẳng vuông góc.
Mục tiêu bài học
- Xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
- Nhận biết và chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
- Phân biệt vuông góc với cắt nhau: hai đường vuông góc trong không gian có thể không cắt nhau.
Kiến thức trọng tâm
Góc giữa hai đường thẳng
Chọn điểm $O$ và hai đường $a’,b’$ qua $O$ lần lượt song song với $a,b$. Góc giữa $a,b$ là góc nhọn hoặc vuông giữa $a’,b’$, nằm trong $[0^\circ;90^\circ]$.
Vuông góc
Hai đường thẳng $a,b$ vuông góc nếu góc giữa chúng bằng $90^\circ$, kí hiệu $a\perp b$. Chúng không nhất thiết phải cắt nhau trong không gian.
Cách chứng minh
Có thể chuyển một đường thẳng song song đến vị trí cắt đường còn lại, rồi chứng minh góc bằng $90^\circ$ bằng hình học phẳng hoặc các tính chất đã biết.
Trong hình hộp/lăng trụ
Các cạnh song song cho phép chuyển góc giữa hai đường chéo, cạnh bên và cạnh đáy về một tam giác hoặc hình chữ nhật quen thuộc.
Ví dụ minh họa
Trong hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$, $AB\perp AD$. Vì $A’B’\parallel AB$, nên góc giữa $A’B’$ và $AD$ cũng bằng $90^\circ$, tức $A’B’\perp AD$ dù hai đường không cắt nhau.
Bài tập tự luyện
- Hai đường thẳng vuông góc có bắt buộc cắt nhau không?
- Góc giữa hai đường song song bằng bao nhiêu?
- Trong hình lập phương, $AB$ có vuông góc $BC$ không?
Xem đáp án nhanh
- Không.
- $0^\circ$.
- Có.
Lỗi thường gặp
- Cho rằng vuông góc luôn đồng nghĩa với giao nhau.
- Chọn góc tù thay cho góc giữa hai đường thẳng.
- Suy luận vuông góc chỉ vì hình vẽ trông giống góc vuông.
Ghi nhớ
Hãy ưu tiên hiểu định nghĩa và điều kiện áp dụng trước khi ghi nhớ công thức. Sau mỗi phép biến đổi, kiểm tra lại điều kiện và tính hợp lí của kết quả.
Xem toàn bộ nội dung trong Chương 7. Quan hệ vuông góc trong không gian hoặc Lý thuyết Toán lớp 11 KNTT.