Bài học dùng hình chiếu vuông góc để xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, một khái niệm quan trọng khi tính góc nghiêng trong không gian.
Mục tiêu bài học
- Xác định hình chiếu vuông góc của điểm và đường thẳng lên mặt phẳng.
- Xác định đúng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
- Vận dụng tam giác vuông tạo bởi đường, hình chiếu và đường vuông góc để tính góc.
Kiến thức trọng tâm
Hình chiếu vuông góc
Hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên $(P)$ là chân $H$ của đường vuông góc từ $M$ đến $(P)$. Hình chiếu của đường thẳng được xác định từ hình chiếu của các điểm trên đường.
Góc giữa đường và mặt phẳng
Nếu $d$ không vuông góc $(P)$, góc giữa $d$ và $(P)$ là góc giữa $d$ và hình chiếu vuông góc $d’$ của nó trên $(P)$. Nếu $d\perp(P)$ thì góc bằng $90^\circ$.
Khoảng giá trị
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn thuộc $[0^\circ;90^\circ]$. Nếu $d\parallel(P)$ hoặc $d\subset(P)$ thì góc bằng $0^\circ$.
Cách tính
Thường chọn hai điểm trên $d$, chiếu một điểm xuống mặt phẳng để tạo tam giác vuông; từ đó dùng sin, cos hoặc tan của góc cần tìm.
Ví dụ minh họa
Cho $SA\perp(ABC)$ và $AB\subset(ABC)$. Hình chiếu của $SB$ lên $(ABC)$ là $AB$, nên góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là $\angle SBA$.
Bài tập tự luyện
- Nếu $d\parallel(P)$, góc giữa $d$ và $(P)$ bằng bao nhiêu?
- Nếu $d\perp(P)$ thì góc bằng bao nhiêu?
- Trong ví dụ trên, nếu $SA=AB$, góc giữa $SB$ và đáy bằng bao nhiêu?
Xem đáp án nhanh
- $0^\circ$.
- $90^\circ$.
- $45^\circ$.
Lỗi thường gặp
- Lấy góc giữa đường thẳng và một đường bất kì trong mặt phẳng.
- Nhầm hình chiếu vuông góc với phép chiếu song song ở Bài 14.
- Chọn sai chân đường vuông góc nên tạo tam giác không vuông.
Ghi nhớ
Hãy ưu tiên hiểu định nghĩa và điều kiện áp dụng trước khi ghi nhớ công thức. Sau mỗi phép biến đổi, kiểm tra lại điều kiện và tính hợp lí của kết quả.
Xem toàn bộ nội dung trong Chương 7. Quan hệ vuông góc trong không gian hoặc Lý thuyết Toán lớp 11 KNTT.