Chứng minh hai đường thẳng song song là một kỹ năng nền tảng của Hình học THCS. Thay vì học thuộc nhiều “mẹo”, học sinh nên nhận dạng xem giả thiết đang cho dữ kiện về góc, vuông góc, tỉ lệ đoạn thẳng hay hình đặc biệt.
1. Dùng dấu hiệu về góc
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng \(a,b\), ta có thể chứng minh \(a\parallel b\) bằng một trong các dấu hiệu:
- một cặp góc so le trong bằng nhau;
- một cặp góc đồng vị bằng nhau;
- một cặp góc trong cùng phía bù nhau.
Ví dụ: nếu \(\widehat{A_1}=\widehat{B_1}=65^\circ\) và hai góc đó là so le trong, suy ra \(a\parallel b\).
2. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba
Nếu \(a\perp d\) và \(b\perp d\), thì \(a\parallel b\). Đây là dấu hiệu rất nhanh trong các bài có đường cao, đường trung trực hoặc góc vuông.
3. Dùng định lí Thalès đảo
Trong tam giác \(ABC\), lấy \(M\in AB\), \(N\in AC\). Nếu
\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\),
thì \(MN\parallel BC\).
Cũng có thể dùng các dạng tỉ lệ tương đương, chẳng hạn \(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NC}\).
4. Dùng đường trung bình của tam giác
Nếu \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AC\), thì \(MN\parallel BC\) và \(MN=\dfrac{1}{2}BC\).
Khi đề cho hai trung điểm, hãy nghĩ ngay đến đường trung bình trước khi dựng thêm đường phụ.
5. Dùng tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông
Nếu chứng minh được tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành thì tự động có:
\(AB\parallel CD\) và \(AD\parallel BC\).
Đây là hướng giải phổ biến khi bài toán đồng thời yêu cầu chứng minh song song và các đoạn thẳng bằng nhau.
6. Dùng hai đường thẳng cùng song song với đường thứ ba
Nếu \(a\parallel c\) và \(b\parallel c\), với \(a,b\) phân biệt, thì \(a\parallel b\).
7. Cách chọn phương pháp
| Dữ kiện nổi bật | Nên nghĩ đến |
|---|---|
| Nhiều góc bằng nhau | So le trong, đồng vị |
| Có hai góc vuông | Cùng vuông góc với đường thứ ba |
| Có tỉ số đoạn thẳng | Thalès đảo |
| Có trung điểm | Đường trung bình |
| Có tứ giác đặc biệt | Tính chất hình bình hành, chữ nhật, thoi, vuông |
8. Bài tập tự luyện
- Trong tam giác \(ABC\), \(M,N\) là trung điểm của \(AB,AC\). Chứng minh \(MN\parallel BC\).
- Cho \(M\in AB,N\in AC\) và \(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NC}\). Chứng minh \(MN\parallel BC\).
- Cho \(AD\perp BC\) và \(MN\perp AD\). Chứng minh \(MN\parallel BC\).
Xem thêm cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc và Chuyên đề Hình học THCS.
9. Câu hỏi thường gặp
Chỉ chứng minh hai góc bằng nhau đã đủ kết luận song song chưa?
Chưa. Phải xác định đúng vị trí của hai góc: so le trong hoặc đồng vị đối với cùng một đường cắt. Hai góc bất kỳ bằng nhau không cho phép kết luận hai đường thẳng song song.
Khi nào nên dùng Thalès đảo?
Khi đề cho nhiều tỉ số đoạn thẳng trên hai cạnh của một tam giác. Nếu đề chủ yếu cho góc, dùng dấu hiệu góc thường ngắn hơn.
Đường trung bình có phải trường hợp riêng của Thalès không?
Có thể xem tính chất đường trung bình là một trường hợp rất đặc biệt của quan hệ tỉ lệ trong tam giác. Tuy nhiên ở THCS, nên gọi đúng định lí đang dùng để lời giải rõ ràng.
10. Bài tập thêm
Trong tam giác \(ABC\), \(D\in AB\), \(E\in AC\), biết \(AD=2\), \(DB=3\), \(AE=4\), \(EC=6\). Ta có \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{2}{3}\), suy ra \(DE\parallel BC\) theo Thalès đảo.