Hàm bậc hai xuất hiện khi đại lượng phụ thuộc vào tích của hai biểu thức bậc nhất hoặc trong mô hình quỹ đạo đơn giản. Đỉnh parabol thường mang ý nghĩa giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong bối cảnh.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Cách đọc và mô hình hóa bài toán thực tế bằng hàm số để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Hàm \(y=ax^2+bx+c\) có đỉnh tại \(x=-b/(2a)\).
- Nếu \(a\lt 0\), đỉnh cho giá trị lớn nhất; nếu \(a>0\), đỉnh cho giá trị nhỏ nhất trên toàn trục số.
- Trong bài thực tế phải giới hạn miền x theo ý nghĩa: số lượng, thời gian, chiều dài thường không âm và có thể có cận trên.
- Sau khi tối ưu toán học, cần diễn giải lại theo đơn vị và điều kiện thực tế.
Phương pháp giải theo từng bước
- Chọn biến và ghi đơn vị.
- Biểu diễn đại lượng cần tối ưu thành hàm bậc hai.
- Xác định miền thực tế của biến.
- Tìm đỉnh hoặc dùng đạo hàm, sau đó kiểm tra đỉnh có nằm trong miền không.
Ví dụ 1
Bài toán: Doanh thu được mô hình \(R(x)=-2x^2+80x\) (đơn vị tùy quy ước). Tìm x làm doanh thu lớn nhất.
Lời giải: Parabol mở xuống, đỉnh tại \(x=-80/(2\cdot-2)=20\).
Ví dụ 2
Bài toán: Độ cao vật theo thời gian \(h(t)=-5t^2+20t+1\). Khi nào đạt cao nhất?
Lời giải: Đỉnh tại \(t=-20/(2\cdot-5)=2\) giây.
Lỗi thường gặp
- Tìm đỉnh nhưng không kiểm tra miền thực tế.
- Quên đổi kết quả sang đơn vị đề bài.
- Chọn biến không rõ khiến công thức sai ý nghĩa.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Viết một câu diễn giải sau đáp số để kiểm tra tính hợp lý.
- Nếu biến là số vật, kết quả thập phân có thể cần so sánh các số nguyên lân cận.
Bài tự luyện
- Bài 1: Tối ưu \(P(x)=-x^2+30x-100\) với \(x\ge0\). Đáp án/Gợi ý: Đỉnh tại x=15.
- Bài 2: Hàm \(h(t)=-4t^2+16t\) đạt cực đại khi nào? Đáp án/Gợi ý: t=2.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Toán thực tế – Mô hình hóa.