Công thức \(P(A)=n(A)/n(\Omega)\) chỉ dùng trực tiếp khi các kết quả sơ cấp đồng khả năng. Vì vậy bài xác suất cổ điển thường là bài đếm trước, tính xác suất sau.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Không gian mẫu \(\Omega\) chứa các kết quả có thể xảy ra.
- Với các kết quả đồng khả năng, \(P(A)=n(A)/n(\Omega)\).
- Biến cố đối \(\overline A\) có \(P(\overline A)=1-P(A)\).
- Khi chọn đồng thời nhiều phần tử, tổ hợp thường phù hợp hơn chỉnh hợp nếu thứ tự không quan trọng.
Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.
Phương pháp giải theo từng bước
- Mô tả phép thử và cách đếm kết quả sơ cấp.
- Tính \(n(\Omega)\).
- Đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố.
- Lập tỉ số và rút gọn; cân nhắc biến cố đối nếu đếm trực tiếp phức tạp.
Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1
Bài toán: Gieo một con xúc xắc cân đối. Tính xác suất ra số chẵn.
Lời giải: Không gian mẫu có 6 kết quả, biến cố có 3 kết quả \(2,4,6\). Xác suất bằng \(3/6=1/2\).
Ví dụ 2
Bài toán: Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh từ 5 nam và 4 nữ. Tính xác suất chọn được 2 nữ.
Lời giải: Tổng số cách \(C_9^2\), thuận lợi \(C_4^2\). Xác suất \(C_4^2/C_9^2=1/6\).
Lỗi thường gặp
- Dùng chỉnh hợp khi thứ tự không quan trọng.
- Đếm không gian mẫu và biến cố theo hai mô hình khác nhau.
- Dùng công thức cổ điển khi các kết quả không đồng khả năng.
Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Hãy viết rõ “có xét thứ tự hay không” trước khi chọn công thức đếm.
- Nếu biến cố “ít nhất một”, thường biến cố đối dễ hơn.
Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.
Bài tự luyện
- Bài 1: Gieo hai đồng xu cân đối. Xác suất có đúng một mặt ngửa? Đáp án/Gợi ý: \(2/4=1/2\).
- Bài 2: Chọn 3 số từ 1 đến 10. Xác suất cả 3 đều chẵn? Đáp án/Gợi ý: \(C_5^3/C_{10}^3\).
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Tổ hợp – Xác suất – Thống kê. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.