Giới hạn hàm số tại một điểm thường yêu cầu biến đổi để loại dạng \(0/0\). Tính liên tục thêm một bước: so sánh giới hạn với giá trị của hàm tại điểm đó, đặc biệt quan trọng với hàm cho bởi nhiều công thức.
Nếu chưa chắc các quy tắc giới hạn, hãy ôn giới hạn dãy số và các dạng vô định thường gặp trước khi chuyển sang giới hạn hàm số và tính liên tục.
Kiến thức cần nhớ
- Hàm liên tục tại \(x_0\) khi \(\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\).
- Nếu thay trực tiếp không tạo dạng vô định, có thể tính giới hạn ngay.
- Dạng \(0/0\) thường xử lý bằng phân tích nhân tử, rút gọn hoặc nhân liên hợp.
- Với hàm từng đoạn, cần kiểm tra giới hạn trái, giới hạn phải và giá trị tại điểm ghép.
Phương pháp giải theo từng bước
- Thử thay trực tiếp để nhận dạng tình huống.
- Nếu \(0/0\), biến đổi đại số để rút gọn nhân tử gây 0.
- Với hàm từng đoạn, tính riêng giới hạn trái và phải.
- Kết luận liên tục chỉ khi hai giới hạn một phía bằng nhau và bằng giá trị hàm.
Ví dụ 1
Bài toán: Tính \(\lim_{x\to2}(x^2-4)/(x-2)\).
Lời giải: Phân tích \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), rút gọn rồi lấy giới hạn của \(x+2\), được 4.
Ví dụ 2
Bài toán: Tìm \(a\) để \(f(x)=x+1\) khi \(x\lt 1\), \(f(1)=a\), và \(f(x)=3-x\) khi \(x\gt 1\), liên tục tại 1.
Lời giải: Ta có \(\lim_{x\to1^-}f(x)=2\) và \(\lim_{x\to1^+}f(x)=2\). Vì hai giới hạn một phía bằng nhau nên \(\lim_{x\to1}f(x)=2\). Để hàm liên tục tại \(x=1\), cần \(f(1)=a=2\).
Lỗi thường gặp
- Chỉ tính giới hạn phải mà quên giới hạn trái.
- Rút gọn rồi quên rằng phép rút gọn chỉ dùng khi \(x\ne x_0\), dù điều đó vẫn hợp lệ trong giới hạn.
- Kết luận liên tục chỉ từ việc hai giới hạn một phía bằng nhau mà chưa so với \(f(x_0)\).
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Với hàm từng đoạn, vẽ vạch dọc tại điểm ghép và làm hai phía riêng.
- Nếu mục tiêu là liên tục, luôn viết đủ ba đại lượng: trái, phải, giá trị hàm.
Bài tự luyện
- Bài 1: Tính \(\lim_{x\to3}(x^2-9)/(x-3)\). Đáp án/Gợi ý: Bằng 6.
- Bài 2: Tìm \(a\) để hàm \(f(x)=2x+a\) với \(x\lt 0\), \(f(x)=x+1\) với \(x\ge0\) liên tục tại 0. Đáp án/Gợi ý: Cần \(a=1\).
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Dãy số – Giới hạn – Liên tục.