Nhiều phương trình lượng giác không ở dạng \(\sin x=a\), \(\cos x=a\) hay \(\tan x=a\) ngay từ đầu. Mục tiêu của biến đổi là đưa biểu thức về một hoặc vài phương trình cơ bản, đồng thời giữ đúng điều kiện và không làm mất nghiệm.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Phương trình lượng giác cơ bản: sin, cos, tan để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Các hằng đẳng thức thường dùng: \(\sin^2x+\cos^2x=1\), \(1+\tan^2x=1/\cos^2x\).
- Công thức góc đôi: \(\sin2x=2\sin x\cos x\), \(\cos2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x\).
- Khi biểu thức có nhân tử chung, ưu tiên đặt nhân tử để tách thành tích bằng 0.
- Không chia cho biểu thức lượng giác nếu chưa xét khả năng biểu thức đó bằng 0.
Phương pháp giải theo từng bước
- Thu gọn hai vế và nhận dạng công thức.
- Ưu tiên đưa về một hàm lượng giác duy nhất hoặc phân tích thành tích.
- Giải từng phương trình cơ bản thu được.
- Đối chiếu điều kiện ban đầu và gộp các họ nghiệm, tránh lặp.
Ví dụ 1
Bài toán: Giải \(2\sin x\cos x=\sin x\).
Lời giải: Chuyển vế: \(\sin x(2\cos x-1)=0\). Do đó \(\sin x=0\) hoặc \(\cos x=1/2\). Suy ra \(x=k\pi\) hoặc \(x=\pm\pi/3+2k\pi\), \(k\in\mathbb Z\).
Ví dụ 2
Bài toán: Giải \(2\cos^2x-3\cos x+1=0\).
Lời giải: Đặt \(t=\cos x\), được \(2t^2-3t+1=0\), nên \(t=1\) hoặc \(t=1/2\). Giải hai phương trình cos cơ bản để có nghiệm.
Lỗi thường gặp
- Chia hai vế cho \(\sin x\) hoặc \(\cos x\) làm mất trường hợp bằng 0.
- Viết thiếu họ nghiệm đối với phương trình cos.
- Dùng độ khi đề và đáp án đang dùng radian.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Sau khi giải, thử thay một nghiệm đại diện vào phương trình gốc.
- Nếu xuất hiện \(\sin^2x\) và \(\cos^2x\), hãy nghĩ đến đổi về cùng một hàm.
Bài tự luyện
- Bài 1: Giải \(\sin2x=\sin x\). Đáp án/Gợi ý: Đưa về \(2\sin x\cos x-\sin x=0\).
- Bài 2: Giải \(2\sin^2x+\sin x-1=0\). Đáp án/Gợi ý: Đặt \(t=\sin x\), nhận \(t=1/2\) hoặc \(t=-1\).
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Lượng giác THPT.