Nhiều phương trình lượng giác không ở dạng \(\sin x=a\), \(\cos x=a\) hay \(\tan x=a\) ngay từ đầu. Mục tiêu của biến đổi là đưa biểu thức về một hoặc vài phương trình cơ bản, đồng thời giữ đúng điều kiện và không làm mất nghiệm.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Phương trình lượng giác cơ bản: sin, cos, tan để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Các hằng đẳng thức thường dùng: \(\sin^2x+\cos^2x=1\), \(1+\tan^2x=1/\cos^2x\).
- Công thức góc đôi: \(\sin2x=2\sin x\cos x\), \(\cos2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x\).
- Khi biểu thức có nhân tử chung, ưu tiên đặt nhân tử để tách thành tích bằng 0.
- Không chia cho biểu thức lượng giác nếu chưa xét khả năng biểu thức đó bằng 0.
Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.
Phương pháp giải theo từng bước
- Thu gọn hai vế và nhận dạng công thức.
- Ưu tiên đưa về một hàm lượng giác duy nhất hoặc phân tích thành tích.
- Giải từng phương trình cơ bản thu được.
- Đối chiếu điều kiện ban đầu và gộp các họ nghiệm, tránh lặp.
Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1
Bài toán: Giải \(2\sin x\cos x=\sin x\).
Lời giải: Chuyển vế: \(\sin x(2\cos x-1)=0\). Do đó \(\sin x=0\) hoặc \(\cos x=1/2\). Suy ra \(x=k\pi\) hoặc \(x=\pm\pi/3+2k\pi\), \(k\in\mathbb Z\).
Ví dụ 2
Bài toán: Giải \(2\cos^2x-3\cos x+1=0\).
Lời giải: Đặt \(t=\cos x\), được \(2t^2-3t+1=0\), nên \(t=1\) hoặc \(t=1/2\). Giải hai phương trình cos cơ bản để có nghiệm.
Lỗi thường gặp
- Chia hai vế cho \(\sin x\) hoặc \(\cos x\) làm mất trường hợp bằng 0.
- Viết thiếu họ nghiệm đối với phương trình cos.
- Dùng độ khi đề và đáp án đang dùng radian.
Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Sau khi giải, thử thay một nghiệm đại diện vào phương trình gốc.
- Nếu xuất hiện \(\sin^2x\) và \(\cos^2x\), hãy nghĩ đến đổi về cùng một hàm.
Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.
Bài tự luyện
- Bài 1: Giải \(\sin2x=\sin x\). Đáp án/Gợi ý: Đưa về \(2\sin x\cos x-\sin x=0\).
- Bài 2: Giải \(2\sin^2x+\sin x-1=0\). Đáp án/Gợi ý: Đặt \(t=\sin x\), nhận \(t=1/2\) hoặc \(t=-1\).
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Lượng giác THPT. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.