Phương trình nghiệm nguyên yêu cầu nghiệm thuộc \(\mathbb Z\), nên ngoài biến đổi đại số còn phải khai thác tính chia hết, tính chẵn lẻ, đồng dư và đánh giá để thu hẹp số trường hợp.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Nếu một tích bằng một số cố định, phân tích thành các cặp ước là cách trực tiếp để liệt kê nghiệm.
- Đồng dư giúp loại nghiệm: bình phương modulo 4 chỉ có thể là 0 hoặc 1; modulo nhỏ thường cho điều kiện chẵn lẻ mạnh.
- Đánh giá giúp chứng minh biến bị chặn, biến bài toán vô hạn thành hữu hạn trường hợp.
- Phân tích nhân tử sau khi hoàn thành bình phương hoặc nhóm hạng thường tạo ra cấu trúc chia hết.
Quy trình giải theo từng bước
- Rút gọn và thử phân tích nhân tử.
- Xem xét chẵn lẻ và modulo 2, 4, 3, 5 tùy biểu thức.
- Tìm đánh giá để chặn độ lớn của biến.
- Liệt kê các ước/trường hợp còn lại và kiểm tra trực tiếp.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Tìm nghiệm nguyên của \(xy=12\).
Lời giải: Các cặp \((x,y)\) là các cặp ước nguyên của 12: \((1,12),(2,6),(3,4)\) và hoán vị, cùng các cặp âm tương ứng.
Ví dụ 2
Bài toán: Chứng minh \(x^2=4k+3\) không có nghiệm nguyên x.
Lời giải: Bình phương một số nguyên modulo 4 chỉ nhận 0 hoặc 1, không thể đồng dư 3 modulo 4.
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Chỉ tìm nghiệm dương dù đề hỏi nghiệm nguyên.
- Chia hai vế cho một biểu thức có thể bằng 0 mà không tách trường hợp.
- Dùng đồng dư nhưng không nêu môđun.
- Liệt kê ước thiếu các ước âm.
Bài tập tự luyện
-
\(xy=6\), số cặp có thứ tự nguyên dương
Đáp số/Gợi ý: 4
-
\(x^2\equiv?\pmod4\)
Đáp số/Gợi ý: 0 hoặc 1
-
\(x^2+y^2=3\) có nghiệm nguyên?
Đáp số/Gợi ý: Không, xét modulo 4
-
\((x-1)(y+2)=5\)
Đáp số/Gợi ý: Xét các cặp ước ±1, ±5
Checklist trước khi kết luận
- Đã khai thác điều kiện nguyên bằng tính chia hết, modulo, chặn hoặc phân tích nhân tử trước khi thử nghiệm?
- Các trường hợp hữu hạn đã được chia đầy đủ và không trùng lặp?
- Mỗi nghiệm ứng viên đã được thế lại và kiểm tra đúng miền số nguyên của đề?
Xem thêm các bài cùng nhóm Học sinh giỏi & Toán nâng cao.
Xem thêm Giải chi tiết 100 đề thi HSG tỉnh môn Toán lớp 10, 11, 12 để luyện thêm các bài nâng cao và cách phối hợp phương pháp.