Đổi biến hiệu quả khi biểu thức chứa một hàm “bên trong” và đạo hàm của nó xuất hiện gần đó. Mục tiêu là biến tích phân phức tạp thành một dạng cơ bản theo biến mới.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Mẫu điển hình: \(\int f(g(x))g'(x)dx\). Đặt \(u=g(x)\), \(du=g'(x)dx\).
- Với tích phân xác định, có thể đổi luôn cận từ \(x\) sang \(u\) để không phải quay lại biến cũ.
- Đổi biến không chỉ là “đặt u”; phải thay toàn bộ phần còn lại của vi phân và biểu thức theo biến mới.
- Sau khi tính nguyên hàm bất định theo \(u\), cần thay ngược \(u=g(x)\).
Quy trình giải theo từng bước
- Tìm một biểu thức lặp lại bên trong căn, mũ, log hoặc mẫu và thử chọn làm \(u\).
- Tính \(du\), kiểm tra phần còn lại có khớp đến một hằng số hay không.
- Biến đổi toàn bộ tích phân sang \(u\).
- Tính tích phân rồi thay ngược hoặc đổi cận phù hợp.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Tính \(\int 2x(x^2+1)^3dx\).
Lời giải: Đặt \(u=x^2+1\), \(du=2xdx\). Khi đó tích phân thành \(\int u^3du=\dfrac{u^4}{4}+C=\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C\).
Ví dụ 2
Bài toán: Tính \(\int_0^1 2xe^{x^2}dx\).
Lời giải: Đặt \(u=x^2\), cận đổi từ 0 đến 1, được \(\int_0^1 e^u du=e-1\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Đặt biến mới nhưng vẫn để lẫn \(x\) và \(u\) trong cùng tích phân.
- Quên hệ số khi \(du\) chỉ khác một hằng số so với phần có sẵn.
- Đổi biến trong tích phân xác định nhưng giữ cận cũ theo \(x\).
- Sau khi đổi cận vẫn thay ngược về \(x\) một cách không cần thiết, dễ sai.
Bài tập tự luyện
-
\(\int 3x^2(x^3+2)^5dx\)
Đáp số/Gợi ý: \((x^3+2)^6/6+C\)
-
\(\int 2x/(x^2+1)dx\)
Đáp số/Gợi ý: \(\ln(x^2+1)+C\)
-
\(\int_0^1 2x/(x^2+1)dx\)
Đáp số/Gợi ý: \(\ln2\)
-
\(\int e^{2x}dx\)
Đáp số/Gợi ý: \(e^{2x}/2+C\)
Checklist trước khi kết luận
- Biến đổi đặt t đã làm xuất hiện đầy đủ dt và đổi hết biến x trong tích phân?
- Với tích phân xác định, đã đổi đúng cả hai cận theo biến mới hoặc đổi ngược về x trước khi thế cận?
- Phép đặt biến có làm mất điều kiện hay đổi dấu căn, giá trị tuyệt đối cần chú ý không?
Xem thêm các bài cùng nhóm Nguyên hàm – Tích phân.
Xem thêm Phương pháp tích phân từng phần: cách chọn u và dv để nối tiếp phương pháp nguyên hàm – tích phân trong cùng mạch kiến thức.