Nguyên hàm là phép toán ngược của đạo hàm. Bảng nguyên hàm chỉ hữu ích khi nhận đúng dạng và không quên hằng số \(C\).
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- \(\int x^n dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\) với \(n\ne-1\).
- \(\int\dfrac1x dx=\ln|x|+C\).
- \(\int e^x dx=e^x+C\), \(\int a^x dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C\), \(a>0,a\ne1\).
- \(\int\cos x dx=\sin x+C\), \(\int\sin x dx=-\cos x+C\).
Quy trình giải theo từng bước
- Rút gọn biểu thức và tách tổng thành tổng các nguyên hàm.
- Đưa hằng số nhân ra ngoài dấu tích phân.
- Nhận dạng công thức trực tiếp; nếu chưa khớp, xem có cần đổi biến hoặc từng phần.
- Thêm \(+C\) với nguyên hàm bất định và kiểm tra bằng cách đạo hàm kết quả.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Tính \(\int(3x^2-4x+2)dx\).
Lời giải: \(x^3-2x^2+2x+C\).
Ví dụ 2
Bài toán: Tính \(\int(2e^x+1/x)dx\).
Lời giải: \(2e^x+\ln|x|+C\), trên từng khoảng không chứa 0.
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Quên \(+C\).
- Dùng công thức lũy thừa cho \(n=-1\), dẫn đến chia cho 0.
- Nguyên hàm của sin viết thành cos mà quên dấu âm.
- Thấy hàm hợp nhưng áp dụng bảng trực tiếp mà thiếu hệ số của đạo hàm bên trong.
Bài tập tự luyện
-
\(\int x^4dx\)
Đáp số/Gợi ý: \(x^5/5+C\)
-
\(\int 5dx\)
Đáp số/Gợi ý: \(5x+C\)
-
\(\int\cos xdx\)
Đáp số/Gợi ý: \(\sin x+C\)
-
\(\int 1/xdx\)
Đáp số/Gợi ý: \(\ln|x|+C\)
Checklist trước khi kết luận
- Đã chọn đúng công thức nguyên hàm và nhớ thêm hằng số C đối với nguyên hàm bất định?
- Nếu biểu thức chứa hàm hợp đơn giản, đã kiểm tra đạo hàm của biểu thức bên trong có xuất hiện?
- Có thể đạo hàm ngược kết quả để kiểm tra nhanh nguyên hàm vừa tìm?
Xem thêm các bài cùng nhóm Nguyên hàm – Tích phân.
Xem thêm Phương pháp đổi biến số trong nguyên hàm và tích phân để nối tiếp phương pháp nguyên hàm – tích phân trong cùng mạch kiến thức.