Dãy số cho bởi công thức tổng quát \(u_n=f(n)\) cho phép tính trực tiếp số hạng và phân tích tính chất theo biến nguyên dương \(n\). Đây là dạng nền trước khi học cấp số và giới hạn dãy số.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Số hạng thứ \(n\) được tính bằng cách thay \(n\) vào công thức; chú ý chỉ số bắt đầu của dãy có thể là 0 hoặc 1 tùy đề.
- Để xét tăng giảm, thường so sánh \(u_{n+1}-u_n\) hoặc tỉ số \(u_{n+1}/u_n\) khi các số hạng dương.
- Để chứng minh bị chặn, cần tìm một cận đúng cho mọi \(n\) trong miền chỉ số.
- Một số bài yêu cầu tìm số hạng thỏa điều kiện, khi đó biến bài toán thành phương trình hoặc bất phương trình theo \(n\in\mathbb N^*\).
Điểm quan trọng là không tách công thức khỏi điều kiện áp dụng. Khi gặp bài mới, hãy xác định cấu trúc trước rồi mới chọn công cụ; cách này giúp giảm đáng kể các lỗi biến đổi theo thói quen.
Quy trình giải theo từng bước
- Ghi rõ miền của chỉ số \(n\).
- Tính vài số hạng đầu để nhận dạng xu hướng nhưng không dùng quan sát thay cho chứng minh.
- Chọn hiệu hoặc tỉ số để xét đơn điệu.
- Khi giải ra \(n\), kiểm tra điều kiện nguyên dương và vị trí trong dãy.
Nếu bài có nhiều dữ kiện, nên ghi các điều kiện ở đầu lời giải. Sau mỗi phép biến đổi có thể làm thay đổi miền nghiệm hoặc miền xác định, cần đánh dấu để đối chiếu ở cuối.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Cho \(u_n=2n-1\). Tính \(u_{10}\) và xét tăng giảm.
Lời giải: \(u_{10}=19\). Ta có \(u_{n+1}-u_n=2>0\) nên dãy tăng.
Ví dụ 2
Bài toán: Cho \(u_n=\frac{n}{n+1}\). Chứng minh dãy tăng và bị chặn trên bởi 1.
Lời giải: \(u_{n+1}-u_n=\frac1{(n+1)(n+2)}>0\). Đồng thời \(u_n=1-\frac1{n+1}<1\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Tính sai \(u_{n+1}\) do chỉ thay một chỗ của \(n\).
- Thấy vài số hạng đầu tăng rồi kết luận dãy tăng.
- Giải được \(n=2.5\) vẫn nhận là một vị trí của dãy.
- Nhầm cận trên với giá trị lớn nhất; dãy có thể tiến tới cận nhưng không đạt cận.
Một cách tự kiểm tra hiệu quả là thử lại kết quả bằng dữ kiện ban đầu hoặc bằng một cách nhìn thứ hai như đồ thị, dấu của biểu thức hay tính chất hình học. Máy tính cầm tay chỉ nên dùng để kiểm tra số gần đúng, không thay thế bước lập luận khi đề yêu cầu lời giải.
Bài tập tự luyện
-
\(u_n=3n+2\), tính \(u_{20}\)
Đáp số/Gợi ý: 62
-
\(u_n=n^2\), xét đơn điệu
Đáp số/Gợi ý: Tăng trên \(\mathbb N^*\)
-
\(u_n=1/n\), xét đơn điệu
Đáp số/Gợi ý: Giảm và bị chặn dưới bởi 0
-
\(u_n=4n-3=97\), tìm \(n\)
Đáp số/Gợi ý: 25
Checklist trước khi kết luận
- Đã ghi đủ điều kiện xác định hoặc điều kiện của biến chưa?
- Công thức đang dùng có đúng dạng và đúng điều kiện không?
- Có phép chia, bình phương, lấy log hoặc đổi biến nào có thể sinh/mất nghiệm không?
- Kết quả cuối đã đúng đơn vị, đúng miền và đúng yêu cầu “chính xác” hay “gần đúng” của đề chưa?
Xem thêm các bài cùng nhóm Dãy số – Giới hạn – Liên tục để luyện theo dạng thay vì học rời từng công thức.