Dãy số cho bởi công thức tổng quát \(u_n=f(n)\) cho phép tính trực tiếp số hạng và phân tích tính chất theo biến nguyên dương \(n\). Đây là dạng nền trước khi học cấp số và giới hạn dãy số.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Số hạng thứ \(n\) được tính bằng cách thay \(n\) vào công thức; chú ý chỉ số bắt đầu của dãy có thể là 0 hoặc 1 tùy đề.
- Để xét tăng giảm, thường so sánh \(u_{n+1}-u_n\) hoặc tỉ số \(u_{n+1}/u_n\) khi các số hạng dương.
- Để chứng minh bị chặn, cần tìm một cận đúng cho mọi \(n\) trong miền chỉ số.
- Một số bài yêu cầu tìm số hạng thỏa điều kiện, khi đó biến bài toán thành phương trình hoặc bất phương trình theo \(n\in\mathbb N^*\).
Quy trình giải theo từng bước
- Ghi rõ miền của chỉ số \(n\).
- Tính vài số hạng đầu để nhận dạng xu hướng nhưng không dùng quan sát thay cho chứng minh.
- Chọn hiệu hoặc tỉ số để xét đơn điệu.
- Khi giải ra \(n\), kiểm tra điều kiện nguyên dương và vị trí trong dãy.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Cho \(u_n=2n-1\). Tính \(u_{10}\) và xét tăng giảm.
Lời giải: \(u_{10}=19\). Ta có \(u_{n+1}-u_n=2>0\) nên dãy tăng.
Ví dụ 2
Bài toán: Cho \(u_n=\dfrac{n}{n+1}\). Chứng minh dãy tăng và bị chặn trên bởi 1.
Lời giải: \(u_{n+1}-u_n=\dfrac1{(n+1)(n+2)}>0\). Đồng thời \(u_n=1-\dfrac1{n+1}\lt 1\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Tính sai \(u_{n+1}\) do chỉ thay một chỗ của \(n\).
- Thấy vài số hạng đầu tăng rồi kết luận dãy tăng.
- Giải được \(n=2.5\) vẫn nhận là một vị trí của dãy.
- Nhầm cận trên với giá trị lớn nhất; dãy có thể tiến tới cận nhưng không đạt cận.
Bài tập tự luyện
-
\(u_n=3n+2\), tính \(u_{20}\)
Đáp số/Gợi ý: 62
-
\(u_n=n^2\), xét đơn điệu
Đáp số/Gợi ý: Tăng trên \(\mathbb N^*\)
-
\(u_n=1/n\), xét đơn điệu
Đáp số/Gợi ý: Giảm và bị chặn dưới bởi 0
-
\(u_n=4n-3=97\), tìm \(n\)
Đáp số/Gợi ý: 25
Checklist trước khi kết luận
- Đã thay đúng chỉ số n vào công thức tổng quát và kiểm tra số hạng đầu?
- Khi xét tính đơn điệu hoặc bị chặn, đã chuyển phát biểu thành bất đẳng thức theo n?
- Nếu tìm số hạng thỏa điều kiện, nghiệm n có thuộc tập số nguyên dương của dãy không?
Với dãy không cho công thức tường minh ngay từ đầu, xem thêm dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.
Xem thêm các bài cùng nhóm Dãy số – Giới hạn – Liên tục.