Hàm số lượng giác cần được nhìn qua ba lớp: miền xác định, tính tuần hoàn và hình dạng đồ thị. Khi nắm ba lớp này, các bài tìm chu kỳ, số nghiệm và đọc đồ thị trở nên hệ thống hơn.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- \(y=\sin x\) và \(y=\cos x\) xác định trên \(\mathbb R\), chu kỳ \(2\pi\).
- \(y=\tan x\) xác định khi \(x\ne\dfrac\pi2+k\pi\), chu kỳ \(\pi\).
- Với \(y=\sin(ax+b)\) hoặc \(y=\cos(ax+b)\), chu kỳ cơ bản là \(T=\dfrac{2\pi}{|a|}\) nếu \(a\ne0\); với tan là \(T=\dfrac\pi{|a|}\).
- Biên độ của \(y=A\sin(ax+b)+d\) là \(|A|\); trục giữa là \(y=d\), tập giá trị là \([d-|A|;d+|A|]\).
Quy trình giải theo từng bước
- Xác định miền xác định trước, đặc biệt với tan/cot hoặc phân thức lượng giác.
- Nhận hệ số của \(x\) để tính chu kỳ.
- Tìm các điểm đặc biệt trong một chu kỳ: điểm giữa, cực đại, cực tiểu, nghiệm.
- Dùng tính tuần hoàn để mở rộng đồ thị và đếm nghiệm trên khoảng yêu cầu.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Tìm chu kỳ của \(y=\cos(3x-1)\).
Lời giải: Hệ số của \(x\) là 3 nên \(T=\dfrac{2\pi}{3}\).
Ví dụ 2
Bài toán: Tìm tập giá trị của \(y=2\sin x-3\).
Lời giải: Vì \(-1\le\sin x\le1\), suy ra \(-5\le y\le-1\). Tập giá trị là \([-5;-1]\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Nhầm chu kỳ của tan là \(2\pi\).
- Dùng \(T=2\pi/a\) mà quên giá trị tuyệt đối.
- Nhầm pha \(b\) làm thay đổi chu kỳ; thực tế nó chỉ tịnh tiến theo phương ngang.
- Vẽ sin/cos mà không đánh dấu đúng các điểm đặc biệt trong một chu kỳ.
Bài tập tự luyện
-
Chu kỳ của \(\sin(4x)\)
Đáp số/Gợi ý: \(\dfrac\pi2\)
-
Chu kỳ của \(\tan(5x+2)\)
Đáp số/Gợi ý: \(\dfrac\pi5\)
-
Tập giá trị của \(3\cos x+1\)
Đáp số/Gợi ý: \([-2;4]\)
-
Miền xác định của \(\tan(2x)\)
Đáp số/Gợi ý: \(x\ne\dfrac\pi4+k\dfrac\pi2\)
Checklist trước khi kết luận
- Đã xác định miền xác định trước khi xét chu kỳ hoặc vẽ đồ thị?
- Chu kỳ tìm được có phải chu kỳ dương nhỏ nhất của hàm đã cho?
- Khi dựng đồ thị, đã xác định đúng các điểm đặc trưng, tiệm cận và phép co giãn/tịnh tiến?
Xem thêm các bài cùng nhóm Lượng giác THPT.
Xem thêm Hệ thống công thức lượng giác cần nhớ và cách chọn công thức khi giải bài để tiếp tục luyện các dạng lượng giác có liên quan.