Tích phân xác định gắn nguyên hàm với một giá trị số trên đoạn. Nó là công cụ trung tâm để tính diện tích, thể tích và nhiều đại lượng tích lũy.
1. Công thức Newton–Leibniz
Nếu \(F'(x)=f(x)\) trên \([a,b]\) thì:
\[\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).\]
Giá trị này không phụ thuộc vào hằng số \(C\) của nguyên hàm.
2. Một số tính chất
- \(\int_a^a f(x)dx=0\).
- \(\int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx\).
- \(\int_a^b f+g=\int_a^b f+\int_a^b g\).
- Với \(a<c<b\): \(\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f\).
3. Ví dụ
\[\int_0^2 x^2dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^2=\frac83.\]
Trong tính toán có thể dùng đổi biến và tích phân từng phần tương tự nguyên hàm, nhưng phải đổi cận tương ứng khi đổi biến trong tích phân xác định.
Lưu ý: \(\int_a^b f(x)dx\) là diện tích có dấu. Nếu mục tiêu là diện tích hình phẳng và \(f\) đổi dấu thì phải chia khoảng hoặc dùng \(|f(x)|\).
Xem thêm: Lý thuyết Toán 12 Kết nối tri thức – Chương 4 · Lý thuyết Toán lớp 12.