Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) mô tả giá trị cao nhất và thấp nhất mà hàm số thực sự đạt được trên miền đang xét. Nội dung này khác với cực trị: một cực đại địa phương chưa chắc là GTLN và một cực tiểu địa phương chưa chắc là GTNN.
1. Khái niệm
Số \(M\) là GTLN của \(f\) trên \(D\) nếu \(f(x)\le M\) với mọi \(x\in D\) và tồn tại \(x_0\in D\) sao cho \(f(x_0)=M\). Tương tự, \(m\) là GTNN nếu \(f(x)\ge m\) với mọi \(x\in D\) và có điểm đạt \(m\).
2. Tìm GTLN, GTNN trên đoạn
Nếu \(f\) liên tục trên \([a,b]\), ta thực hiện:
- Tính \(f'(x)\), tìm các điểm \(x_i\in(a,b)\) tại đó \(f'(x_i)=0\) hoặc đạo hàm không tồn tại.
- Tính \(f(a), f(b)\) và \(f(x_i)\).
- So sánh các giá trị: số lớn nhất là GTLN, số nhỏ nhất là GTNN.
Với khoảng mở hoặc miền không bị chặn, phải kết hợp bảng biến thiên và giới hạn. Hàm số có thể chỉ tiến gần một giá trị mà không đạt giá trị đó, khi ấy không được gọi đó là GTLN/GTNN.
3. Ví dụ
Xét \(f(x)=4-x^2\) trên \([-2,3]\). Ta có \(f'(x)=-2x=0\Leftrightarrow x=0\). Các giá trị cần so sánh là \(f(-2)=0\), \(f(0)=4\), \(f(3)=-5\). Vậy GTLN bằng \(4\) tại \(x=0\), GTNN bằng \(-5\) tại \(x=3\).
Ghi nhớ: trên đoạn đóng, đừng quên hai đầu mút; đây là lỗi rất thường gặp khi chỉ xét các nghiệm của \(f'(x)=0\).
Xem thêm: Lý thuyết Toán 12 Kết nối tri thức – Chương 1 · Lý thuyết Toán lớp 12.