Định lí Viète cho phép liên hệ trực tiếp tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai với các hệ số, nhờ đó có thể nhẩm nghiệm, tính biểu thức đối xứng hoặc tìm hai số khi biết tổng và tích.
Kiến thức trọng tâm
Định lí Viète
Nếu \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của \(ax^2+bx+c=0\) (a≠0) thì \(x_1+x_2=-\dfrac ba\) và \(x_1x_2=\dfrac ca\).
Ứng dụng ngược
Nếu cần tìm hai số có tổng S và tích P, ta có thể xét phương trình \(t^2-St+P=0\). Hai nghiệm (nếu có) chính là hai số cần tìm.
Cách làm dạng bài cơ bản
- Kiểm tra phương trình có nghiệm thực phù hợp.
- Tính S=−b/a và P=c/a.
- Biến đổi biểu thức cần tính theo S và P, ví dụ \(x_1^2+x_2^2=S^2-2P\).
Ví dụ minh họa
Với \(x^2-7x+10=0\), theo Viète: \(x_1+x_2=7\), \(x_1x_2=10\). Hai số 2 và 5 thỏa cả hai điều kiện nên là hai nghiệm.
Lỗi thường gặp
- Đổi nhầm dấu của tổng nghiệm; tổng là −b/a.
- Dùng Viète để khẳng định có hai nghiệm thực mà không xét điều kiện tồn tại nghiệm.
- Nhầm phương trình tìm hai số: hệ số của t phải là −S.
Tự luyện
- Cho \(x^2-9x+14=0\). Tính tổng và tích hai nghiệm.
- Không giải phương trình, tính \(x_1^2+x_2^2\) nếu S=5, P=3.
- Lập phương trình có hai nghiệm là hai số có tổng 8 và tích 15.
Ghi nhớ
Viète biến thông tin về nghiệm thành thông tin về hệ số và ngược lại; đặc biệt hiệu quả với các biểu thức đối xứng của hai nghiệm.
Xem toàn bộ nội dung trong Chương 6. Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn hoặc Lý thuyết Toán lớp 9 KNTT.