Các tính chất của tích phân – Toán lớp 12

Giai đoạn 4 – Đầu học kì II: Nguyên hàm và tích phân

Kiến thức cần ghi nhớ

• Tích phân tuyến tính: $\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g$.
• $\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f$ với $c$ nằm giữa $a,b$.
• $\int_b^a f=-\int_a^b f$ và $\int_a^a f=0$.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1

Biết $\int_0^1f(x)dx=2$ và $\int_1^3f(x)dx=5$. Tính $\int_0^3f(x)dx$.

Cách làm: Theo tính chất cộng đoạn, kết quả bằng $2+5=7$.

Bài tập thực hành

1. Nếu $\int_a^b f=4$, tính $\int_b^a f$.
2. Biết $\int_0^2 f=3$, tính $\int_0^2 5f$.
3. Tính $\int_a^a f$.
4. Biết $\int_0^3f=8$ và $\int_0^1f=2$, tính $\int_1^3f$.

Bài tập về nhà

1. Nếu $\int_a^b f=2$, $\int_a^b g=-1$, tính $\int_a^b(f+2g)$.
2. Nếu đổi thứ tự cận tích phân thì dấu thay đổi thế nào?
3. Nêu tính chất chia đoạn của tích phân.

Xem lời giải