Tìm GTLN và GTNN trên một đoạn đóng là dạng bài có quy trình rất rõ. Cần so sánh giá trị hàm tại các điểm tới hạn nằm trong đoạn và tại hai đầu mút; không được chỉ nhìn vào cực trị bên trong.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Tính đơn điệu của hàm số để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Với hàm liên tục trên đoạn \([a,b]\), GTLN và GTNN tồn tại.
- Các ứng viên cần so sánh gồm hai đầu mút và các điểm \(x\in(a,b)\) nơi \(f'(x)=0\) hoặc đạo hàm không xác định.
- Cực đại địa phương không nhất thiết là GTLN trên toàn đoạn.
- Kết luận phải nêu cả giá trị và nơi đạt nếu đề yêu cầu.
Các công thức chỉ hiệu quả khi dùng đúng điều kiện. Với bài có tham số, căn, mẫu, logarit hoặc lượng giác, nên ghi điều kiện ngay từ đầu thay vì bổ sung sau khi đã biến đổi.
Phương pháp giải theo từng bước
- Tính đạo hàm và tìm điểm tới hạn trong đoạn.
- Lập danh sách \(a,b\) và các điểm tới hạn hợp lệ.
- Tính \(f(x)\) tại từng điểm trong danh sách.
- So sánh trực tiếp để chọn số lớn nhất và nhỏ nhất.
Sau mỗi bước quan trọng, nên tự hỏi phép biến đổi có tương đương hay chỉ là điều kiện cần. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi bình phương hai vế, nhân chia với biểu thức chưa biết dấu hoặc đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1
Bài toán: Tìm GTLN, GTNN của \(f(x)=x^2-2x+3\) trên \([0,3]\).
Lời giải: \(f'(x)=2x-2=0\Rightarrow x=1\). Ta có \(f(0)=3,f(1)=2,f(3)=6\). Vậy GTNN là 2 tại \(x=1\), GTLN là 6 tại \(x=3\).
Ví dụ 2
Bài toán: Tìm GTLN của \(f(x)=x^3-3x\) trên \([-2,2]\).
Lời giải: Điểm tới hạn \(x=\pm1\). Tính tại \(-2,-1,1,2\): lần lượt \(-2,2,-2,2\). GTLN bằng 2.
Lỗi thường gặp
- Bỏ qua hai đầu mút.
- Giữ điểm tới hạn nằm ngoài đoạn.
- Nhầm cực trị với GTLN/GTNN.
Nếu kết quả cuối là một khoảng nghiệm, một giá trị cực trị hoặc một số đo hình học, hãy kiểm tra nhanh bằng cách thế ngược, ước lượng hoặc đối chiếu với hình vẽ. Một bước kiểm tra ngắn thường phát hiện được lỗi dấu hoặc lỗi điều kiện.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Lập một bảng hai cột “x” và “f(x)” giúp tránh bỏ sót ứng viên.
- Chỉ làm tròn sau khi đã so sánh chính xác nếu có thể.
Trong bài tự luận, nên viết đủ điều kiện, công thức được sử dụng và kết luận. Không nên thay toàn bộ lập luận bằng kết quả máy tính cầm tay hoặc hình vẽ phần mềm.
Bài tự luyện
- Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của \(x+1/x\) trên \([1,4]\). Đáp án/Gợi ý: Điểm tới hạn \(x=1\) ở đầu mút; so sánh \(f(1)=2,f(4)=17/4\).
- Bài 2: Tìm GTNN của \(x^2+4/x\) trên \([1,4]\). Đáp án/Gợi ý: Tính đạo hàm, tìm điểm tới hạn trong đoạn rồi so sánh.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Đạo hàm – Khảo sát hàm số. Nên học bài P1 nền tảng trước, sau đó chuyển sang các dạng P2 để tăng khả năng nhận dạng và phối hợp phương pháp.