Tìm GTLN và GTNN trên một đoạn đóng là dạng bài có quy trình rất rõ. Cần so sánh giá trị hàm tại các điểm tới hạn nằm trong đoạn và tại hai đầu mút; không được chỉ nhìn vào cực trị bên trong.
Trước khi học phần này, bạn nên xem lại Tính đơn điệu của hàm số để nắm các kiến thức nền liên quan.
Kiến thức cần nhớ
- Với hàm liên tục trên đoạn \([a,b]\), GTLN và GTNN tồn tại.
- Các ứng viên cần so sánh gồm hai đầu mút và các điểm \(x\in(a,b)\) nơi \(f'(x)=0\) hoặc đạo hàm không xác định.
- Cực đại địa phương không nhất thiết là GTLN trên toàn đoạn.
- Kết luận phải nêu cả giá trị và nơi đạt nếu đề yêu cầu.
Phương pháp giải theo từng bước
- Tính đạo hàm và tìm điểm tới hạn trong đoạn.
- Lập danh sách \(a,b\) và các điểm tới hạn hợp lệ.
- Tính \(f(x)\) tại từng điểm trong danh sách.
- So sánh trực tiếp để chọn số lớn nhất và nhỏ nhất.
Ví dụ 1
Bài toán: Tìm GTLN, GTNN của \(f(x)=x^2-2x+3\) trên \([0,3]\).
Lời giải: \(f'(x)=2x-2=0\Rightarrow x=1\). Ta có \(f(0)=3,f(1)=2,f(3)=6\). Vậy GTNN là 2 tại \(x=1\), GTLN là 6 tại \(x=3\).
Ví dụ 2
Bài toán: Tìm GTLN của \(f(x)=x^3-3x\) trên \([-2,2]\).
Lời giải: Điểm tới hạn \(x=\pm1\). Tính tại \(-2,-1,1,2\): lần lượt \(-2,2,-2,2\). GTLN bằng 2.
Lỗi thường gặp
- Bỏ qua hai đầu mút.
- Giữ điểm tới hạn nằm ngoài đoạn.
- Nhầm cực trị với GTLN/GTNN.
Mẹo kiểm tra và trình bày
- Lập một bảng hai cột “x” và “f(x)” giúp tránh bỏ sót ứng viên.
- Chỉ làm tròn sau khi đã so sánh chính xác nếu có thể.
Bài tự luyện
- Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của \(x+1/x\) trên \([1,4]\). Đáp án/Gợi ý: Điểm tới hạn \(x=1\) ở đầu mút; so sánh \(f(1)=2,f(4)=17/4\).
- Bài 2: Tìm GTNN của \(x^2+4/x\) trên \([1,4]\). Đáp án/Gợi ý: Tính đạo hàm, tìm điểm tới hạn trong đoạn rồi so sánh.
Học tiếp trong cùng chuyên đề
Bạn có thể xem thêm các bài trong Đạo hàm – Khảo sát hàm số.