Tập giá trị trả lời câu hỏi: khi biến chạy trên tập xác định thì hàm số có thể nhận những giá trị nào. Không có một công thức duy nhất; cách làm phụ thuộc vào dạng hàm và công cụ đang có.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Với hàm bậc hai, đưa về dạng bình phương hoặc dùng đỉnh parabol để tìm giá trị nhỏ nhất/lớn nhất.
- Với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, đặt \(y=f(x)\), giải ngược theo \(x\) và tìm giá trị \(y\) làm phép giải không thực hiện được.
- Với hàm trên một đoạn đóng, có thể dùng đạo hàm: tính giá trị tại các điểm tới hạn và hai đầu mút rồi so sánh.
- Với biểu thức chứa sin, cos, thường dùng \(-1\le\sin x,\cos x\le1\) hoặc biến đổi về \(a\sin x+b\cos x\).
Quy trình giải theo từng bước
- Xác định đúng miền của biến trước khi tìm miền của hàm.
- Chọn công cụ: hoàn thành bình phương, đánh giá, đạo hàm hay giải ngược.
- Tìm các biên có thể đạt được và kiểm tra dấu bằng.
- Viết tập giá trị, phân biệt rõ khoảng mở và đoạn đóng.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Tìm tập giá trị của \(y=x^2-4x+1\), \(x\in\mathbb R\).
Lời giải: Ta có \(y=(x-2)^2-3\ge-3\), dấu bằng khi \(x=2\). Vậy tập giá trị là \([-3;+\infty)\).
Ví dụ 2
Bài toán: Tìm tập giá trị của \(y=\dfrac{2x+1}{x-1}\).
Lời giải: Đặt \(y=\dfrac{2x+1}{x-1}\Rightarrow (y-2)x=y+1\). Nếu \(y\ne2\) thì luôn tìm được \(x=\dfrac{y+1}{y-2}\); còn \(y=2\) dẫn đến vô lý. Vậy tập giá trị là \(\mathbb R\setminus\{2\}\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Chỉ tìm cực trị mà quên xét đầu mút khi miền xác định bị giới hạn.
- Thấy hàm bậc hai là kết luận luôn \([y_{min};+\infty)\) dù hệ số \(a\lt 0\).
- Giải ngược theo \(x\) nhưng quên điều kiện làm hệ số của \(x\) bằng 0.
- Nhầm “giá trị lớn nhất” với “cận trên”: muốn là GTLN thì hàm phải đạt được giá trị đó.
Bài tập tự luyện
-
\(y=-x^2+6x-5\)
Đáp số/Gợi ý: \((-\infty;4]\)
-
\(y=3+2\sin x\)
Đáp số/Gợi ý: \([1;5]\)
-
\(y=\dfrac{x-2}{x+1}\)
Đáp số/Gợi ý: \(\mathbb R\setminus\{1\}\)
-
\(y=x+\dfrac1x, x>0\)
Đáp số/Gợi ý: \([2;+\infty)\)
Checklist trước khi kết luận
- Đã phân biệt rõ tập giá trị với tập xác định và miền biến đang xét?
- Nếu dùng đồ thị hoặc bảng biến thiên, đã đọc đúng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và giới hạn ở đầu mút?
- Các giá trị biên có thực sự đạt được hay chỉ là cận của hàm số?
Khi miền giá trị phụ thuộc điều kiện của biểu thức, nên đối chiếu với phương pháp xác định tập xác định của hàm số.
Xem thêm các bài cùng nhóm Đại số & Hàm số THPT.