Đây là định lí nền tảng của quan hệ vuông góc trong không gian: chỉ cần chứng minh một đường thẳng vuông góc với hai đường cắt nhau trong mặt phẳng.
Mục tiêu bài học
- Hiểu định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
- Vận dụng dấu hiệu vuông góc với hai đường cắt nhau.
- Sử dụng các tính chất về đường vuông góc và mặt phẳng vuông góc trong chứng minh.
Kiến thức trọng tâm
Định nghĩa
$d\perp(P)$ nếu $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$.
Dấu hiệu quan trọng
Nếu $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a,b$ cùng nằm trong $(P)$ thì $d\perp(P)$. Đây là cách chứng minh thường dùng nhất.
Tính duy nhất
Qua một điểm có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước; qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Liên hệ song song
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song hoặc trùng nhau. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song hoặc trùng nhau.
Ví dụ minh họa
Trong hình chóp $S.ABC$, nếu $SA\perp AB$ và $SA\perp AC$, mà $AB,AC$ cắt nhau trong $(ABC)$, thì $SA\perp(ABC)$.
Bài tập tự luyện
- Muốn chứng minh $d\perp(P)$, tối thiểu thường cần chứng minh $d$ vuông góc với mấy đường cắt nhau trong $(P)$?
- Nếu $a\perp(P)$ và $b\perp(P)$, quan hệ giữa $a,b$?
- Nếu $d\perp(P)$, $a\subset(P)$, kết luận gì về $d,a$?
Xem đáp án nhanh
- Hai.
- Song song hoặc trùng nhau.
- $d\perp a$.
Lỗi thường gặp
- Chứng minh đường thẳng vuông góc với chỉ một đường trong mặt phẳng rồi kết luận vuông góc mặt phẳng.
- Quên hai đường trong dấu hiệu phải cắt nhau.
- Nhầm đường vuông góc mặt phẳng với đường chỉ cắt mặt phẳng.
Ghi nhớ
Hãy ưu tiên hiểu định nghĩa và điều kiện áp dụng trước khi ghi nhớ công thức. Sau mỗi phép biến đổi, kiểm tra lại điều kiện và tính hợp lí của kết quả.
Xem toàn bộ nội dung trong Chương 7. Quan hệ vuông góc trong không gian hoặc Lý thuyết Toán lớp 11 KNTT.