Hình cầu và mặt cầu xuất hiện trong nhiều vật thể thực tế. Khi tính toán cần xác định rõ bán kính R, đồng thời phân biệt diện tích mặt cầu với thể tích khối cầu.
Kiến thức trọng tâm
Mặt cầu và hình cầu
Mặt cầu tâm O bán kính R là tập hợp các điểm M trong không gian thỏa \(OM=R\). Hình cầu gồm mặt cầu và các điểm nằm bên trong, tức \(OM\le R\).
Diện tích và thể tích
Diện tích mặt cầu bán kính R: \(S=4\pi R^2\). Thể tích hình cầu: \(V=\dfrac43\pi R^3\). Một mặt phẳng đi qua tâm cắt mặt cầu theo một đường tròn lớn có bán kính R.
Cách làm dạng bài cơ bản
- Xác định bán kính; nếu đề cho đường kính d thì R=d/2.
- Chọn S=4πR² khi hỏi diện tích bề mặt, V=4/3πR³ khi hỏi thể tích.
- Ghi đúng đơn vị: diện tích bậc hai, thể tích bậc ba.
Ví dụ minh họa
Quả cầu có đường kính 10 cm nên R=5 cm. Diện tích mặt cầu \(S=4\pi\cdot25=100\pi\) cm²; thể tích \(V=\dfrac43\pi\cdot125=\dfrac{500\pi}{3}\) cm³.
Lỗi thường gặp
- Dùng đường kính trực tiếp thay R trong công thức.
- Nhầm diện tích mặt cầu 4πR² với diện tích hình tròn πR².
- Ghi sai đơn vị của thể tích.
Tự luyện
- Hình cầu bán kính 3 cm: tính diện tích mặt cầu.
- Hình cầu đường kính 12 cm: tính thể tích.
- Nếu bán kính gấp đôi, diện tích mặt cầu và thể tích tăng lần lượt bao nhiêu lần?
Ghi nhớ
Bán kính tăng k lần thì diện tích mặt cầu tăng k² lần, còn thể tích hình cầu tăng k³ lần.
Xem toàn bộ nội dung trong Chương 10. Một số hình khối trong thực tiễn hoặc Lý thuyết Toán lớp 9 KNTT.