Tính chất đường phân giác cho phép chuyển điều kiện về góc thành một tỉ lệ độ dài trên cạnh đối diện.
Kiến thức trọng tâm
- Trong tam giác \(ABC\), nếu \(BD\) là đường phân giác của góc \(B\), \(D\in AC\), thì \(\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}\).
- Tỉ lệ phải ghép đoạn trên cạnh đối diện với hai cạnh kề của góc được chia: đoạn gần \(A\) đi với \(AB\), đoạn gần \(C\) đi với \(BC\).
- Khi biết \(AC=AD+DC\) và một tỉ số, có thể đặt các đoạn theo cùng một hệ số để tìm từng độ dài.
- Tính chất này rất hữu ích trong bài toán tính độ dài hoặc chứng minh một tỉ lệ.
Ví dụ minh họa
Bài toán: Tam giác \(ABC\) có \(AB=6\), \(BC=9\), \(AC=10\). Đường phân giác \(BD\) cắt \(AC\) tại \(D\). Tính \(AD,DC\).
Lời giải: \(\frac{AD}{DC}=\frac69=\frac23\). Đặt \(AD=2k\), \(DC=3k\). Vì \(AD+DC=10\) nên \(5k=10\), \(k=2\). Do đó \(AD=4\), \(DC=6\).
Lỗi thường gặp
- Đảo tỉ số một phía nhưng không đảo phía còn lại.
- Nhầm đường phân giác với đường trung tuyến và kết luận \(AD=DC\).
- Quên sử dụng \(AD+DC=AC\) khi cần tìm hai đoạn.
Bài tập tự luyện
- Nếu \(AB=BC\) và \(BD\) là phân giác góc \(B\), suy ra \(AD\) và \(DC\) thế nào?
- \(AB/BC=3/5\), \(DC=10\). Tính \(AD\).
- \(AD/DC=4/7\), \(AC=22\). Tính \(AD\).
Xem đáp án
- \(AD=DC\).
- \(AD=6\).
- \(AD=8\).
Xem các bài trong Chương 4. Định lí Thalès · Lý thuyết Toán lớp 8