Bài tập bất đẳng thức Cosi (AM-GM) giúp học sinh luyện cách ghép hạng tử, chọn điểm rơi và kiểm tra dấu bằng. Các số dùng trong AM-GM phải không âm.
Phạm vi: Đây là nội dung Toán THCS nâng cao, phù hợp học sinh khá giỏi, ôn HSG và thi vào lớp 10 chuyên; không phải toàn bộ kiến thức trong bài đều thuộc yêu cầu chính khóa.
Ba dạng nền
Tổng và tích
Với \(a,b\ge0\): \(a+b\ge2\sqrt{ab}\).
Dạng \(x+\dfrac{k}{x}\)
Với \(x>0,k>0\): \(x+\dfrac{k}{x}\ge2\sqrt{k}\), dấu bằng khi \(x=\sqrt{k}\).
Tổng cố định
Nếu \(a,b\ge0\), \(a+b=S\), thì \(ab\le\dfrac{S^2}{4}\).
Cách đọc bộ lời giải
Mỗi lần thấy AM-GM, hãy đánh dấu các đại lượng được ghép, điều kiện không âm và điều kiện dấu bằng. Nếu bài hỏi GTLN/GTNN, cần xác nhận cận đạt được.
Bài tập và lời giải dạng hình ảnh
Bài viết liên quan
- Chuyên đề Bất đẳng thức và Cực trị THCS
- Bất đẳng thức Bunhiacopxki
- Bất đẳng thức Cosi (AM-GM)
- Một số bài toán Bất đẳng thức chọn lọc thi vào 10 năm 2023
- 14 bổ đề bất đẳng thức thường gặp
Tóm tắt bằng chữ: cách chọn AM-GM trong bộ bài tập
Bài viết có nhiều hình lời giải, vì vậy phần tóm tắt dưới đây giúp học sinh nhận dạng nhanh trước khi xem từng bài.
- Nếu thấy \(x+\dfrac{k}{x}\) với \(x>0\), thử ghép hai hạng tử bằng AM-GM.
- Nếu cần tìm GTNN, hãy đoán trước điểm xảy ra dấu bằng rồi điều chỉnh cách tách.
- Nếu tổng hoặc tích cố định, AM-GM thường cho cận rất tự nhiên.
- Nếu áp dụng AM-GM cho nhiều nhóm, các điều kiện dấu bằng của từng nhóm phải đồng thời xảy ra.
Ví dụ mẫu
Với \(x>0\), tìm GTNN của \(2x+\dfrac{8}{x}\).
Ta có:
\(2x+\dfrac{8}{x}\ge2\sqrt{2x\cdot\dfrac{8}{x}}=8\).
Dấu bằng khi \(2x=\dfrac{8}{x}\), suy ra \(x=2\). Vậy GTNN là \(8\).
Học sinh nên thử tự giải một bài bằng chữ trước, sau đó mới đối chiếu lời giải trong ảnh để tránh học thuộc máy móc.