Muốn chứng minh một tam giác cân, mục tiêu cuối cùng thường là chứng minh hai cạnh bằng nhau hoặc hai góc ở đáy bằng nhau. Ngoài ra, trong nhiều bài hình học ta có thể dùng các đường đặc biệt xuất phát từ đỉnh.
1. Chứng minh hai cạnh bằng nhau
Với tam giác \(ABC\), nếu chứng minh được \(AB=AC\), ta kết luận tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).
Hai cạnh bằng nhau có thể xuất hiện từ:
- giả thiết trực tiếp;
- hai tam giác bằng nhau;
- tính chất hai tiếp tuyến xuất phát từ một điểm;
- hai bán kính của cùng một đường tròn;
- tính chất đường trung trực.
2. Chứng minh hai góc ở đáy bằng nhau
Nếu \(\widehat{ABC}=\widehat{BCA}\), thì các cạnh đối diện bằng nhau:
\(AC=AB\).
Do đó tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).
3. Dùng đường cao đồng thời là trung tuyến
Trong tam giác \(ABC\), giả sử \(AH\perp BC\) và \(HB=HC\). Khi đó hai tam giác vuông \(ABH\) và \(ACH\) bằng nhau, suy ra \(AB=AC\). Vì vậy \(ABC\) cân tại \(A\).
4. Dùng đường cao đồng thời là phân giác
Nếu \(AH\perp BC\) và \(\widehat{BAH}=\widehat{HAC}\), hai tam giác vuông \(ABH\) và \(ACH\) bằng nhau, suy ra \(AB=AC\).
5. Dùng trung tuyến đồng thời là phân giác
Nếu \(H\) là trung điểm của \(BC\) và \(AH\) là phân giác của \(\widehat{A}\), theo tính chất đường phân giác trong tam giác:
\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BH}{HC}\).
Vì \(BH=HC\), suy ra \(\dfrac{AB}{AC}=1\), hay \(AB=AC\). Do đó tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).
6. Điểm nằm trên đường trung trực
Nếu \(A\) nằm trên đường trung trực của đoạn \(BC\), thì \(AB=AC\). Suy ra tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).
7. Sơ đồ nhận dạng nhanh
- Đề có “trung điểm + vuông góc” → nghĩ đến đường trung trực.
- Đề có hai góc bằng nhau → nghĩ đến định lí đảo của tam giác cân.
- Đề có đường cao kèm phân giác/trung tuyến → chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau.
- Đề có đường tròn → tìm các bán kính hoặc tiếp tuyến bằng nhau.
8. Bài tập tự luyện
- Cho tam giác \(ABC\), \(AH\perp BC\), \(HB=HC\). Chứng minh \(ABC\) cân tại \(A\).
- Cho \(\widehat{B}=\widehat{C}\). Chứng minh \(AB=AC\).
- Cho \(A\) thuộc đường trung trực của \(BC\). Chứng minh tam giác \(ABC\) cân.
Xem thêm cách chứng minh trung điểm, cách chứng minh tia phân giác và Chuyên đề Hình học THCS.
9. Câu hỏi thường gặp
Muốn chứng minh tam giác cân có nhất thiết phải chứng minh hai cạnh bằng nhau?
Không. Chứng minh hai góc ở đáy bằng nhau cũng đủ. Trong bài có nhiều góc, đây thường là hướng ngắn hơn.
Đường trung tuyến có đủ để kết luận tam giác cân không?
Không. Mọi tam giác đều có ba trung tuyến. Chỉ khi một đường trung tuyến đồng thời có thêm tính chất đặc biệt như vuông góc với cạnh đáy hoặc là phân giác, ta mới có cơ sở suy ra tam giác cân.
Điểm trên đường trung trực giúp gì?
Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng cách đều hai đầu mút của đoạn đó. Vì vậy nếu \(A\) nằm trên đường trung trực của \(BC\), ta có ngay \(AB=AC\).
10. Bài tập thêm
Cho tam giác \(ABC\), \(D\) là trung điểm của \(BC\), \(AD\perp BC\). Hãy chứng minh tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) bằng hai tam giác vuông \(ABD\) và \(ACD\).