Cách chứng minh đường trung bình của tam giác, hình thang

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Định nghĩa đường trung bình

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh của tam giác.

Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên của hình thang.

⇒ Cách chứng minh dựa vào định nghĩa.

2. Định lý đường trung bình

Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

⇒ Cách chứng minh dựa vào định lý.

BÀI TẬP

Dựa vào định nghĩa và định lý về đường trung bình chúng ta có thể làm được hết những bài tập dưới đây.

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, BC = 9cm. Kéo dài  AB lấy điểm D sao cho BD = BA, kéo dài AC lấy điểm E sao cho CE = CA. Kéo dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC lấy MI = MA.

1) Tính độ dài các cạnh tam giác ADE.

2) Chứng minh:

a) DI // BC

b) Ba điểm D, I, E thẳng hàng.

Bài 2: Cho tam giác ABC có độ dài BC = a và M là trung điểm của AB.

Tia Mx // BC cắt AC tại N.

1) Chứng minh N là trung điểm của AC.

2) Tính độ dài đoạn thẳng  MN theo a.

Bài 3: Cho tam giác MNP có MN = 4cm, MP = 6cm, NP = 8cm. Kéo dài MN lấy điểm I sao cho NI = NM, kéo dài MP lấy điểm K sao cho PK = PM, kéo dài trung tuyến MO của tam giác MNP lấy OS = OM.

1) Tính độ dài các cạnh của tam giác MIK.

2) Chứng minh ba điểm I, S, K thẳng hàng.

3) Chứng minh $ \displaystyle {{S}_{{MKI}}}$ = 4$ \displaystyle {{S}_{{MNP}}}$.

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC. Kẻ Mx // AC cắt AB tại E, kẻ My // AB cắt AC tại F. Chứng minh rằng:

1) E, F là trung điểm của AB và AC.

2) $ \displaystyle EF = \frac{1}{2}$BC.

3) ME = MF, AE = AF

Bài 5: Cho tam giác OPQ cân tại O có I là trung điểm của PQ. Kẻ IM // OQ ( M thuộc OP ), IN // OP ( N thuộc OQ ). Chứng minh rằng :

1) Tam giác IMN cân tại I.

2) OI là đường trung trực của MN.

Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A có AM là đường cao. N là trung điểm của AC. Kẻ Ax // BC cắt MN tại E. Chứng minh rằng :

1) M là trung điểm của BC.              2) ME // AB          3) AE = MC

Bài 7: Cho tam giác ABC, trên nửa mặt phẳng bờ là AC không chứa điểm B. Lấy điểm D bất kì. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, AD. Chứng minh:

1) MN // PQ và MQ // NP.

2) MN + NP + PQ + MQ = AC + BD.

Bài 8: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Kẻ $ \displaystyle HE \bot AB$ tại E, kéo dài HE lấy EM = EH. Kẻ $ \displaystyle HF \bot AC$ tại F, kéo dài HF lấy FN = FH. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng:

1) AB là trung trực của MH và AC là trung trục của HN.

2) Tam giác AMN cân.

3) EF // MN.

4) $ \displaystyle AI \bot $ EF.

Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của đường cao AH, CM cắt AB tại D, kẻ Hx // CD và cắt AB tại E. Chứng minh rằng:

1) DA = DE                    2) AB = 3AD                  3) CD = 4MD

Bài 10: Cho tam giác ABC có AB : AC : BC = 3 : 4 : 6. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của AB, AC và BC. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết chu vi tam giác MNP bằng 5,2cm.

Bài 11: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 36cm. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của AB, AC và BC. Tính độ dài các cạnh của tam giác MNP biết NP : NM : MP = 4 : 3 : 2.

Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến. Gọi N là trung điểm của AC

1) Chứng minh $ \displaystyle MN \bot $ AC.

2) Tam giác AMC là tam giác gì? Vì sao

3) Chứng minh 2AM = BC.

Bài 13: Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao BD và CE. Gọi M, N là trung điểm của BC và DE. Chứng minh rằng :

1) $ \displaystyle DM = \frac{1}{2} BC$.        2) Tam giác DME cân.       3) $ \displaystyle MN \bot DE $.

Bài 14 : Cho tam giác ABC trên AC lấy theo thứ tự điểm D và E sao cho AD = DE = EC. Gọi M là trung điểm của BC, BD cắt AM tại I. Chứng minh rằng :

1) ME // BD.         2) I là trung điểm của AM.        3) $ \displaystyle ID = \frac{1}{4}$ BD.

Bài 15: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. Lấy D thuộc AC sao cho $ \displaystyle AD = \frac{1}{2} DC$. Kẻ ME // BD ( E thuộc CD ), BD cắt AM tại I. Chứng minh rằng:

1) AD = DE = EC.

2) I là trung điểm của AM

3) $ \displaystyle {{S}_{{AIB}}} =  {{S}_{{IMB}}}$

4) $ \displaystyle {{S}_{{ABC}}} =  {{S}_{{BDC}}}$

Bài 16: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. Gọi D là trung điểm của AM, BD cắt AC tại E. Kẻ MK // BE ( K thuộc EC ). Chứng minh rằng:

1) K là trung điểm của CE                  2) CE = 2AE

Bài 17 : Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. Gọi D là trung điểm của AM, BD cắt AC tại I. Chứng minh AI = $ \displaystyle \frac{1}{2}$CI.

Bài 18:  Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GB và GC. Chứng minh rằng:

1) DE // IK và DE = IK.

2) $ \displaystyle \Delta $DEK = $ \displaystyle \Delta $IKE.

Bài 19: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GB và GC. Chứng minh rằng:

1) IE // DK và IE = DK

2) $ \displaystyle {{S}_{{DEI}}}$= $ \displaystyle {{S}_{{DIK}}}$

Bài 20: Cho tam giác ABC có H là trực tâm, M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM cắt AB và AC tại E và F, trên tia đối của tia HC lấy HD = HC. Chứng minh rằng:

1) HM // BD                             2) E là trực tâm của tam giác HBD

3) DE // AC                            4) EH = HF
Bài 21: Cho hình thang ABCD ( AB // CD; AB < CD ) và AB = BC

1) Chứng minh CA là tia phân giác của góc BCD.

2) Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC và BD. Chứng minh M, N, E, F thẳng hàng

Bài 22: Cho hình thang ABCD ( AB // CD; AB < CD ). Trên AD lấy AE = EM = MP = PD. Trên BC lấy  BF = FN = NQ = QC

1) Chứng  minh M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC

2) Tứ giác EFQP là hình gì? Vì sao?

3) Tính MN, EF, PQ biết AB = 8cm và CD = 12cm

4) Kẻ $ \displaystyle AH \bot CD$ tại H  và AH = 10cm. Tính $ \displaystyle {{S}_{{ABCD}}}$.

Bài 23: Cho hình thang ABCD ( AB // CD; AB < CD ). Trên AD lấy  AE = EF = FG = GD. Từ E, F, G dựng các đường thẳng song song với 2 đáy cắt BC lần lượt tại M, N và P.

1) Chứng minh BM = MN = NP = PC

2) Tính GP, EM, AB biết CD = 10cm, FN = 6cm

3) Chứng minh $ \displaystyle {{S}_{{ABD}}}$= 4$ \displaystyle {{S}_{{ABE}}}$ và $ \displaystyle {{S}_{{CDNF}}}$ = 2$ \displaystyle {{S}_{{ABNP}}}$

Bài 24: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy AD = DE = EB. Từ D, E kẻ các đường thẳng cùng song song với BC cắt cạnh AC lần lượt tại M,N. Chứng minh rằng:

1) M là trung điểm của AN

2) AM = MN = NC

3) 2EN = DM + BC

4) $ \displaystyle {{S}_{{ABC}}}$ = 3$ \displaystyle {{S}_{{AMB}}}$

Bài 25: Cho tam giác MNP có MI là đường trung tuyến của tam giác. Trên MP lấy theo thứ tự MK = KH = HP, NK cắt MI tại O.

1) Tứ giác OKHI là hình gì?

2) Chứng minh NO = 3OK

3) So sánh $ \displaystyle {{S}_{{MNI}}}$ và $ \displaystyle {{S}_{{MIP}}}$

Bài 26: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có đường cao AH = 3cm và AB = 5cm, CD = 8cm.  Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của AD, BC và AC

1) Chứng minh E, I, F thẳng hàng.

2) Tính $ \displaystyle {{S}_{{ABCD}}}$

3) So sánh $ \displaystyle {{S}_{{ADC}}}$và 2$ \displaystyle {{S}_{{ABC}}}$

Bài 27: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của AD, BC và AC

1) Chứng minh: EI // CD và IF // AB

2) Chứng minh: $ \displaystyle EF \le \frac{{AB+CD}}{2}$

3) Tứ giác ABCD phải có điều kiện gì thì $ \displaystyle EF = \frac{{AB+CD}}{2}$

Bài 28 : Cho hình thang ABCD ( AB // CD ). M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, AC. Cho AB = 6cm, CD = 14cm

1) Tính các độ dài MI, IK, KN

2) Tính $ \displaystyle {{S}_{{ABNM}}}$biết đường cao của hình thang ABCD là 8cm.

Bài 29: Cho tam giác ABC có 2 đường trung tuyến BD và CE. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Gọi I, K là giao điểm của MN với BD và CE. Chứng minh rằng:

1) EDCB là hình thang

2) I là trung điểm của BD và K là trung điểm của CE

3) MI = IK = KN
Bài 30: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ). Gọi M, I , K, N lần lượt là trung điểm của AD, BD, AC, BC. Chứng minh rằng:

1) M, I , K thẳng hàng

2) MK = $ \displaystyle \frac{1}{2}$CD và MI = $ \displaystyle \frac{1}{2}$AB

3) IK = $ \displaystyle \frac{{CD-AB}}{2}$

Bài 31: Cho hình thang ABCD có AB // CD ( AB < CD), AB = a, BC = b, CD = c, AD = d. Các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh A và D cắt nhau tại M, các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh B và C cắt nhau tại N. AM và BN lần lượt cắt đường thẳng CD tại P và Q

1) Chứng minh tam giác AMD và tam giác BNC vuông

2) Chứng minh tam giác ADP và tam giác BCQ cân

3) Chứng minh MN // CD

4) Tính độ dài MN theo a,b,c,d ( có cùng đơn vị đo )

Bài 32: Cho hình thang MNPQ ( MN // PQ ). Các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh M và Q cắt nhau tại I. Các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh N và P cắt nhau tại K. Chứng minh rằng :

1) $ \displaystyle MI \bot IQ $ và $ \displaystyle NK \bot PK $

2) IK // PQ

Bài 33: Cho tứ giác ABCD có P, I, Q lần lượt là trung điểm của AD, BD, BC.

1) Chứng minh PI + IQ = ( AB + CD ).$ \displaystyle \frac{1}{2} \ge PQ$

2) Giả sử có $ \displaystyle PQ = \frac{{AB+CD}}{2}$. Chứng minh rằng P, I , Q thẳng hàng

Bài 34: Cho tứ giác ABCD có P, I và Q lần lượt là trung điểm của AD, BD và BC.

1) So sánh PI + IQ với AB + CD

2) Giả sử có $ \displaystyle PQ = \frac{{AB+CD}}{2}$. Chứng minh AB // CD.

Bài 35: Vẽ ra phía ngoài tam giác nhọn ABC các tam giác vuông cân ABD và ACE ở B và C. Gọi M là trung điểm của DE, kẻ DN, AH, MI, EK cùng vuông góc với BC tại N, H, I, K. Chứng minh rằng:

1) I là trung điểm của NK

2) $ \displaystyle \Delta DNB = \Delta BHA$ và $ \displaystyle \Delta EKC = \Delta CHA$

3) I là trung điểm của BC

4) $ \displaystyle \Delta CMB$ vuông cân ở M

Bài 36: Cho tam giác ABC có G là trọng râm. Qua G vẽ đường thẳng d cắt 2 cạnh AB và AC. Gọi I, M là trung điểm của AG và BC. Gọi A’, B’, C’, I’, M’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C, I, M trên d

1) Chứng minh: $GI = GM$ và $ \displaystyle II’ = \frac{1}{2}AA’$

2) Tìm hệ thức liên hệ giữa các độ dài AA’, BB’, CC’

Bài 37: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ đường thẳng d không song song với BC. Gọi I là trung điểm của AB, K là trung điểm của CG. Gọi A’, B’, C’, I’, K’, G’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C, I, K, G trên d.

1) Chứng minh: CK = KG = GI

2) Chứng minh: C’K’ = K’G’ = G’T’ và I’ là trung điểm của A’B’

3) Tìm hệ thức liên hệ giữa các độ dài AA’, BB’, CC’với GG’

Bài 38: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC) có AH là đường cao. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HB. Kẻ $ \displaystyle DE \bot AC $ ở E, $ \displaystyle HK \bot AC $ ở K.

1) So sánh KA và KE.

2) Chứng minh $ \displaystyle \Delta AHE$ cân ở H.

3) Gọi M là trung điểm của DC. Chứng minh $ \displaystyle \widehat{{HEM}}={{90}^{0}}$