Tích phân từng phần phù hợp với tích của hai dạng mà đổi biến không đơn giản. Công thức \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\) chỉ có lợi khi lựa chọn \(u\) làm phần còn lại đơn giản hơn sau khi đạo hàm.
Kiến thức cốt lõi cần nắm
- Các ứng viên thường chọn làm \(u\): logarit, hàm ngược, đa thức; phần còn lại làm \(dv\).
- Với tích \(x e^x\), chọn \(u=x\) vì đạo hàm thành 1, còn \(dv=e^x dx\) tích phân dễ.
- Với \(\int\ln xdx\), có thể coi là \(\int 1\cdot\ln xdx\), chọn \(u=\ln x,dv=dx\).
- Một số tích phân cần từng phần hai lần hoặc tạo phương trình chứa chính tích phân ban đầu.
Điểm quan trọng là không tách công thức khỏi điều kiện áp dụng. Khi gặp bài mới, hãy xác định cấu trúc trước rồi mới chọn công cụ; cách này giúp giảm đáng kể các lỗi biến đổi theo thói quen.
Quy trình giải theo từng bước
- Chọn \(u\) sao cho \(du\) đơn giản hơn.
- Chọn \(dv\) sao cho tìm \(v\) dễ.
- Viết rõ bảng \(u,du,dv,v\) trước khi thế công thức.
- Kiểm tra dấu trừ và hằng số sau khi tính.
Nếu bài có nhiều dữ kiện, nên ghi các điều kiện ở đầu lời giải. Sau mỗi phép biến đổi có thể làm thay đổi miền nghiệm hoặc miền xác định, cần đánh dấu để đối chiếu ở cuối.
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Bài toán: Tính \(\int xe^x dx\).
Lời giải: Chọn \(u=x,dv=e^x dx\), suy ra \(du=dx,v=e^x\). Vậy \(\int xe^x dx=xe^x-\int e^x dx=e^x(x-1)+C\).
Ví dụ 2
Bài toán: Tính \(\int\ln xdx\), \(x>0\).
Lời giải: Chọn \(u=\ln x,dv=dx\), nên \(du=dx/x,v=x\). Kết quả \(x\ln x-x+C\).
Lỗi thường gặp và cách tránh
- Chọn \(u=e^x\), \(dv=x dx\) cho \(xe^x\) khiến tích phân mới phức tạp hơn.
- Nhầm công thức thành \(uv+\int vdu\).
- Tìm sai \(v\) từ \(dv\).
- Quên điều kiện \(x>0\) khi dùng \(\ln x\).
Một cách tự kiểm tra hiệu quả là thử lại kết quả bằng dữ kiện ban đầu hoặc bằng một cách nhìn thứ hai như đồ thị, dấu của biểu thức hay tính chất hình học. Máy tính cầm tay chỉ nên dùng để kiểm tra số gần đúng, không thay thế bước lập luận khi đề yêu cầu lời giải.
Bài tập tự luyện
-
\(\int x\cos xdx\)
Đáp số/Gợi ý: \(x\sin x+\cos x+C\)
-
\(\int xe^{2x}dx\)
Đáp số/Gợi ý: \(e^{2x}(x/2-1/4)+C\)
-
\(\int_1^e\ln xdx\)
Đáp số/Gợi ý: 1
-
\(\int x\sin xdx\)
Đáp số/Gợi ý: \(-x\cos x+\sin x+C\)
Checklist trước khi kết luận
- Đã ghi đủ điều kiện xác định hoặc điều kiện của biến chưa?
- Công thức đang dùng có đúng dạng và đúng điều kiện không?
- Có phép chia, bình phương, lấy log hoặc đổi biến nào có thể sinh/mất nghiệm không?
- Kết quả cuối đã đúng đơn vị, đúng miền và đúng yêu cầu “chính xác” hay “gần đúng” của đề chưa?
Xem thêm các bài cùng nhóm Nguyên hàm – Tích phân để luyện theo dạng thay vì học rời từng công thức.