Trong không gian \(Oxyz\), một đường thẳng được xác định khi biết một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương khác vectơ không.
1. Phương trình tham số
Đường thẳng \(d\) đi qua \(M(x_0;y_0;z_0)\), có vectơ chỉ phương \(\vec u=(a;b;c)\ne\vec0\):
\[\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}\quad(t\in\mathbb R).\]
Nếu \(a,b,c\) đều khác 0, có thể viết dạng chính tắc:
\[\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.\]
2. Đường thẳng qua hai điểm
Nếu đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt \(A,B\), vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là một vectơ chỉ phương.
3. Ví dụ
Đường thẳng qua \(M(1;2;-1)\), có vectơ chỉ phương \((2;-1;3)\):
\[\begin{cases}x=1+2t\\y=2-t\\z=-1+3t\end{cases}.\]
Để kiểm tra một điểm có thuộc đường thẳng hay không, thay tọa độ điểm vào ba phương trình và kiểm tra xem có cùng một giá trị \(t\) thỏa cả ba hay không.
Ghi nhớ: vectơ chỉ phương có thể nhân với mọi số khác 0 mà vẫn biểu diễn cùng một phương của đường thẳng.
Xem thêm: Lý thuyết Toán 12 Kết nối tri thức – Chương 5 · Lý thuyết Toán lớp 12.