Nguyên hàm là phép toán ngược của đạo hàm. Nếu biết tốc độ biến thiên, nguyên hàm giúp khôi phục một hàm ban đầu, nhưng chỉ xác định đến một hằng số cộng.
1. Định nghĩa
Hàm \(F\) là một nguyên hàm của \(f\) trên khoảng \(K\) nếu \(F'(x)=f(x)\) với mọi \(x\in K\). Nếu \(F\) là một nguyên hàm thì mọi nguyên hàm của \(f\) có dạng:
\[\int f(x)\,dx=F(x)+C,\qquad C\in\mathbb R.\]
2. Một số công thức cơ bản
- \(\int x^\alpha dx=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\) với \(\alpha\ne-1\).
- \(\int \dfrac1x dx=\ln|x|+C\).
- \(\int e^x dx=e^x+C\).
- \(\int \cos x\,dx=\sin x+C\), \(\int \sin x\,dx=-\cos x+C\).
Nguyên hàm có tính tuyến tính: \(\int(af+bg)dx=a\int fdx+b\int gdx\).
3. Ví dụ
\[\int(3x^2-4x+2)dx=x^3-2x^2+2x+C.\]
Khi biểu thức phức tạp, có thể nhận dạng dạng hàm hợp để đổi biến hoặc sử dụng công thức tích phân từng phần. Sau khi tính xong nên đạo hàm kết quả để kiểm tra.
Ghi nhớ: nguyên hàm không xác định luôn phải có hằng số \(C\).
Xem thêm: Lý thuyết Toán 12 Kết nối tri thức – Chương 4 · Lý thuyết Toán lớp 12.