Khi đã biểu diễn vectơ bằng tọa độ, các phép toán hình học trở thành các phép tính đại số theo từng thành phần. Đây là cầu nối quan trọng để giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ.
1. Các phép toán cơ bản
Cho \(\vec a=(a_1;a_2;a_3)\), \(\vec b=(b_1;b_2;b_3)\) và số thực \(k\):
- \(\vec a+\vec b=(a_1+b_1;a_2+b_2;a_3+b_3)\).
- \(\vec a-\vec b=(a_1-b_1;a_2-b_2;a_3-b_3)\).
- \(k\vec a=(ka_1;ka_2;ka_3)\).
- \(\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\).
2. Điều kiện hình học qua tọa độ
Hai vectơ vuông góc khi \(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0\). Hai vectơ khác vectơ không cùng phương khi tồn tại \(k\) sao cho \(\vec a=k\vec b\), tức các tọa độ tương ứng tỉ lệ với cùng một hệ số.
3. Ví dụ
Cho \(\vec a=(1;2;-1)\), \(\vec b=(2;-1;0)\). Ta có \(\vec a+\vec b=(3;1;-1)\), \(\vec a\cdot\vec b=1\cdot2+2\cdot(-1)+(-1)\cdot0=0\). Vì tích vô hướng bằng 0 nên \(\vec a\perp\vec b\).
Ghi nhớ: khi kiểm tra cùng phương, không nên chia máy móc cho một tọa độ bằng 0; cách an toàn là tìm một hệ số \(k\) thỏa đồng thời ba phương trình tọa độ.
Xem thêm: Lý thuyết Toán 12 Kết nối tri thức – Chương 2 · Lý thuyết Toán lớp 12.