Vectơ trong không gian dùng để biểu diễn hướng và độ lớn trong các bài toán hình học ba chiều. Những quy tắc quen thuộc của vectơ trong mặt phẳng vẫn được giữ, đồng thời có thêm cách nhìn trực quan qua hình hộp và các đường chéo không gian.
1. Vectơ và các phép toán
Vectơ \(\overrightarrow{AB}\) có điểm đầu \(A\), điểm cuối \(B\). Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài. Ta thực hiện được phép cộng, phép trừ và nhân vectơ với một số thực.
Quy tắc ba điểm: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). Trong một hình hộp xuất phát từ cùng một đỉnh, tổng ba vectơ theo ba cạnh bằng vectơ theo đường chéo không gian tương ứng.
2. Tích vô hướng
Với hai vectơ khác vectơ không:
\[\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos(\vec a,\vec b).\]
Đặc biệt, \(\vec a\perp\vec b\Leftrightarrow \vec a\cdot\vec b=0\). Công thức này được dùng để tính góc và kiểm tra vuông góc.
3. Ví dụ hình hộp
Trong hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\), từ đỉnh \(A\) ta có:
\[\overrightarrow{AC’}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA’}.\]
Đẳng thức giúp chuyển một vectơ đường chéo thành tổng các vectơ theo ba phương cơ bản, rất hữu ích khi chứng minh quan hệ hoặc chuẩn bị chuyển sang phương pháp tọa độ.
Ghi nhớ: luôn chú ý thứ tự điểm đầu–điểm cuối; \(\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}\).
Xem thêm: Lý thuyết Toán 12 Kết nối tri thức – Chương 2 · Lý thuyết Toán lớp 12.