Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm – Toán lớp 11 KNTT

Đạo hàm đo tốc độ biến thiên tức thời của hàm số. Về hình học, đạo hàm tại một điểm là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó.

Mục tiêu bài học

• Hiểu đạo hàm từ giới hạn của tỉ số biến thiên.
• Tính đạo hàm tại một điểm bằng định nghĩa trong trường hợp đơn giản.
• Giải thích ý nghĩa hình học và ý nghĩa tốc độ tức thời.

Kiến thức trọng tâm

Tỉ số biến thiên

Với $\Delta x=x-x_0$, $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$, tỉ số $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ là tốc độ biến thiên trung bình của $y$ theo $x$ trên một khoảng nhỏ.

Đạo hàm tại điểm

$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ nếu giới hạn hữu hạn tồn tại. Tương đương $f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$.

Đạo hàm trên khoảng

Nếu hàm có đạo hàm tại mọi điểm của một khoảng, ta thu được hàm đạo hàm $f'(x)$. Khả vi tại một điểm kéo theo liên tục tại điểm đó.

Ý nghĩa hình học và cơ học

Nếu đồ thị có tiếp tuyến tại $M(x_0,f(x_0))$, hệ số góc tiếp tuyến là $f'(x_0)$; phương trình tiếp tuyến: $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$. Nếu $s(t)$ là quãng đường/vị trí, vận tốc tức thời là $v(t)=s'(t)$.

Ví dụ minh họa

Bài tập tự luyện

1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của $f(x)=x^2$ tại $x=2$.
2. Nếu $f'(x_0)=0$, tiếp tuyến có hệ số góc bao nhiêu?
3. Nếu $s(t)=t^2$, vận tốc tại $t=3$ là bao nhiêu?

Lỗi thường gặp

• Thay $x=x_0$ vào tỉ số sai phân trước khi lấy giới hạn.
• Nhầm đạo hàm với giá trị của hàm.
• Viết phương trình tiếp tuyến mà thiếu điểm tiếp xúc $f(x_0)$.

Ghi nhớ

Xem toàn bộ nội dung trong Chương 9. Đạo hàm hoặc Lý thuyết Toán lớp 11 KNTT.