Giới hạn mô tả xu hướng của số hạng $u_n$ khi chỉ số $n$ tăng rất lớn. Bài học còn có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và giới hạn vô cực.
Mục tiêu bài học
- Hiểu giới hạn hữu hạn của dãy số và các quy tắc tính.
- Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.
- Nhận biết và tính một số giới hạn vô cực.
Kiến thức trọng tâm
Giới hạn hữu hạn
Viết $\lim_{n\to+\infty}u_n=L$ khi $u_n$ tiến gần $L$ khi $n$ đủ lớn. Các giới hạn cơ bản: $\lim\dfrac1n=0$; nếu $|q|<1$ thì $\lim q^n=0$.
Quy tắc tính
Nếu $u_n\to a$, $v_n\to b$ thì tổng, hiệu, tích có giới hạn tương ứng; thương có giới hạn $a/b$ khi $b\ne0$ và mẫu không bằng 0 từ một chỉ số đủ lớn.
Cấp số nhân lùi vô hạn
Với $|q|<1$, tổng vô hạn $u_1+u_1q+u_1q^2+\cdots$ bằng $S=\dfrac{u_1}{1-q}$.
Giới hạn vô cực
Viết $u_n\to+\infty$ nếu $u_n$ có thể lớn hơn mọi số dương cho trước kể từ một chỉ số nào đó. Ví dụ $n^2\to+\infty$. Khi tính phân thức theo $n$, thường chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất.
Ví dụ minh họa
Tính $\lim\dfrac{2n+1}{n+3}$. Chia tử và mẫu cho $n$: $\dfrac{2+1/n}{1+3/n}\to2$.
Bài tập tự luyện
- Tính $\lim\dfrac{3n-2}{2n+5}$.
- Tính $1+\dfrac13+\dfrac19+\cdots$.
- Tính $\lim\dfrac{1}{n^2}$.
Xem đáp án nhanh
- $\dfrac32$.
- $\dfrac32$.
- $0$.
Lỗi thường gặp
- Thay trực tiếp $n=\infty$ như một số thực.
- Dùng công thức tổng vô hạn khi $|q|\ge1$.
- Không chuẩn hóa bậc cao nhất khi xử lí phân thức theo $n$.
Ghi nhớ
Xem toàn bộ nội dung trong Chương 5. Giới hạn. Hàm số liên tục hoặc Lý thuyết Toán lớp 11 KNTT.